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• 包絡線是一條曲線，它與一系列規律的曲線（包含直線）中的每一條線，都有至少有一點相切。
• 雖然包絡線函數涉及微積分與高等數學，不過讀者可以透過繪圖、刺繡或GeoGebra的數學軟體進行實作。
• 若將包絡線的概念應用到弦線藝術中，就可以設計出許多繁複的幾何圖案作品。

 
在本篇文章開始之前，先讓我們看一個簡單的魔術。讀者們可以使用你的手機或是其他單點光源的手電筒，從圓形馬克杯的杯緣往杯內照射（不透明杯底比較容易看出來），神奇的事情出現了，杯底竟然浮現心型的曲線（圖一）。若是調整光源的位置，還能發現曲線的樣子不斷地變化。但光線不論前進或反射都是直線行進，怎麼會繞出曲線圖案呢？

由於入射到杯壁內不同高度位置的反射線投影，和杯口的反射線相同。為了方便說明，我們只用杯口的圓來描述光線在杯壁的反射情形。當光源A發出一條光線，打到杯壁的P點後，反射到P'點（圖二）。由反射定律可知入射角與反射角相同，若以OA當作有向角的始邊，∠P'OA恰好是∠POA角度的兩倍。也就是說，由光源A發出的無數條光線打在杯壁的不同位置上時，反射的位置都剛好在兩倍角度的對應點上。若畫出全部的反射線，就可以看見光線包圍出一個心型的區域（圖三）。此時曲線的邊緣上有較密集的光線匯聚，比其他地方更亮，所以可以用肉眼觀察到發光的情形。

圖二｜光源A發出的一條光線，打到杯壁的P點後反射到P'點，若以OA當作有向角的始邊，∠P'OA恰好是∠POA角度的兩倍。（作者提供）


圖三｜將所有反射線畫出來，就可以看見光線包圍出一個心型的區域，此時曲線的邊緣上有著較密集的光線匯聚，能觀察到發光的情形。其中，黃線是由反射線構成的一組弦，粉色線則是這組弦的包絡線（心臟線）。（作者提供）

但更深入地來說，為什麼只要連接這些兩倍角度的反射線，就能產生這樣的曲線？如果改變連線的規則呢？如果不是在圓裡面呢？
 

包絡線的數學結構

要回答上述的問題，我們首先必須了解「包絡線」（envelope）。包絡線是一條曲線，它與一系列規律的曲線（包含直線）中的每一條，都有至少有一點相切。你可以想像成這條曲線被另一組曲線「包裹」或「覆蓋」。如前述的例子，由反射線構成的一組弦（弦族）形成了心臟線的「外殼」或「邊緣」，則心臟線就是這組弦的包絡線。
 
在已知包絡線的情況下，要製造一組這樣的「外殼」並不困難，只要在曲線上取足夠的點，繪製出它們的切線就好。但要如何判斷一組曲線中是否存在包絡線？在指定包絡線函數中，如何找出一組外殼的規律？以上問題涉及微積分與高等數學，雖然不容易解決，卻有許多操作簡單的模式，非常適合動手實作。
 
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