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2020-10-01喚醒大腦裡的數學家
610 期
Author 作者
Eddie Woo
我的騙子手機
多年以來，我一直覺得我的手機裡有個人在跟我作對。它有特殊能力，用看來十分可信的謊言讓我碰上麻煩。好幾次它用咄咄逼人的口氣對我說：「沒問題，我的電池裡還有很多電！」但幾分鐘後就在緊要關頭掛掉，比如說我在兒子的生日派對上擔任重要攝影師的時候。
「你是說，你沒拍到他吹蠟燭的照片？」
「可是手機當時真的說還有20％的電！」
有時候又剛好相反。我的手機顯示電量只剩2％，結果撐了好幾小時。這怎麼搞的？它是因為前幾次讓我失望，所以想補償嗎？
手機右上角電池圖示旁邊的百分比數字是用相當繁複的數學式算出來的。但儘管如此，它有時還是錯得相當離譜。想要了解原因，我們必須思考一下電量究竟是什麼，以及電量如何測定。
電池能依據容量儲存電力。我們描述電池時經常不自覺地採用一個物理學隱喻：我們把電池當成水罐，容量隨大小而定。我們說電池有「容量」時，就是把它當成儲存電力的罐子。
但是如果我們知道電池不像水罐，沒辦法用刻度來標示存量，這個隱喻就不成立了。電池像個不透明的桶子，看不到內部。看不到的物質要怎麼測量存量？這時我們會用數學界最強大的工具：微積分。
光是「微積分」這幾個字就讓好多學生和大人打從心底發抖。它讓我們想到許多正常人難以理解又神祕的概念和定律——有時候還真的是這樣。但是發明微積分的目的是幫助我們了解一個非常簡單的問題：量如何變化？如果兩個不斷變化的量之間有某種關係，例如汽車行進距離和移動這個距離所需的時間，那麼這兩者變化的比率是多少？舉例來說，一輛汽車每小時（時間）行進多少公里（距離）？
這類問題往往不用刻意思考就能很快想到直接答案，例如「每小時 60 公里」。但如果花點時間從比較抽象的層面思考比率的概念（例如距離和時間的比率就非常重要，所以特別稱為「速度」），或許有助於了解數學界最常受到誤解的一些語詞。許多人聽過甚至死記這些單字和符號，但完全不理解這些東西真正的意義。
首先，它有助於理解許多和數學運算對應的日常用語。「和」通常代表「加」（例如「可以拿給我5 支湯匙和3支叉子嗎？」，這樣我就會拿給你3+5=8 支餐具）。「次」代表「累加」（「我今天晚上投進了7次三分球」代表總共得了3×7=21分，很棒喔！）。另外還有個比較少人想到的詞，「每」通常代表「除」（「飲料一組12元，每組有4罐」代表每罐飲料是12÷4=3元）。
因此，「每小時幾公里」是「公里除以小時」的另一種說法，也就是「距離變化除以時間變化」。數學家經常比較各種量的變化，所以把它縮寫成d（也就是希臘字母delta，數學和科學中經常用它來代表變化）。所以d （距離）其實就是「距離變化」的縮寫。
數學家什麼東西都喜歡縮寫（因為數學家總是想把事情做得更有效率），所以又把時間和距離這些量縮寫成一個字母，稱為「代數記號」（pronumeral）。世界各地的學生（和大人）經常很害怕代數記號，主要原因是我們一直不懂它們是什麼。簡單說來，代數記號就跟代名詞一樣：
● 代名詞是代替某個名詞的單字（例如他、她、它）。
● 代數記號是代替某個數的符號（例如 x、y、a、Ø）。
數學裡最常見的代數記號是x和y，所以如果我們用x代替時間、y代替距離，那麼就可以把d ( 距離 ) / d ( 時間)再縮寫成dy/dx。這四個字母就像微積分的「媽咪媽咪轟」一樣。世界各地千千萬萬的學生每天不停地寫這幾個字母，但完全不知道它們真正的意義。它們不是什麼神奇咒語，只是代表兩樣東西相對變化的縮寫。
我們比較兩個變化量時，通常喜歡畫成圖來比較。這類圖可以用來比較各種事物，例如天氣圖可以對照當天最高氣溫和日期。另外我們也可以畫一張圖，呈現公司每年的總營收。我太太生下老大時，醫院給我們一本小冊子，裡面有張「成長圖」，對照小孩的年齡和各個發育階段的可能身高和體重。
我們畫這類圖表時，通常會把橫軸標示成x，縱軸標示成y。這代表當我們想到「y 的變化」時，會去看垂直方向改變多少，這是描述它「上升」（也就是線條向上走多遠）的好方法。另一方面，我們想到「x 的變化」時，則會看水平方向改變多少。一般人通常稱為「移動」（也就是線條向右走多遠）。因此，許多人認為先前提到的dy/dx 是「上升對移動」。
我們提到許多種方法來描述同一個概念（就是某個事物如何隨時間改變）。方法很多的原因是變化率隨處都有，我們也很有興趣研究這些變化率。以下是我們剛剛介紹的語言路徑圖：
這些就是微積分這部重要數學機器裡的所有零件。
這跟手機電池有什麼關係？
我們起先的問題是找出方法來測定一個看不到的量：也就是電池裡的電量。如果把電池當成水罐，而且我們看不見它的內部。那麼要怎樣知道裡面有多少水？
我記得小時候參加過外宿營隊，必須輪流洗澡。而營地的熱水是從大水槽供應給每間小屋的浴室，所以供應量有限，熱水水量降低時，蓮蓬頭的水壓和溫度也會跟著降低。腳步比較快的同學可以洗到爽快的熱水澡，晚到的同學就只能洗到細水長流的冷水澡。
電池就有點像營地的水槽，越滿就流得越快。所以即使我們沒辦法直接看到電池裡還有多少電，還是可以測量電池供應電力的速率，大致知道還有多少電。現在它已經變成變化率問題，最適合用微積分來處理。
手機廠商對電池做過很多測試，所以能預測出不同電流速率的對應電量。廠商生產手機時做過校正，讓手機能識別電流，並依據電流速率顯示電量。那麼究竟手機為什麼還是會常常弄錯？
影響電量顯示的因素很多。首先，電池在各種狀況下的運作效率都不一樣。溫度非常高或非常低時，電池無法長時間保留電量，所以使用時間會比較短。不只如此，而且電池的放電率也會變得不容易預測。如果有很多人在洗時，水槽裡的水會消耗得比較快。同樣地，手機的各種功能（例如手機上網）或程式（例如影片剪輯軟體）需要更大的運算能力，電池也會消耗得更快。最後，電池儲存電量的能力也會隨老化而降低。如果覺得陪伴你許久的手機好像沒有以前那麼耐久，應該不是錯覺！
手機裡的軟體和它用來判定電量的數學演算法會盡力克服這些時時改變的狀況，但結果依然只是最佳的估計值。手機右上角的百分比數字可以精確地告訴我們電池還能使用多久嗎？不開玩笑，它真的是在騙人。
書名│《喚醒大腦裡的數學家》
作者│ Eddie Woo
出版社│臉譜
出版日期│ 2020年8月