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2019-09-01翻硬幣與青蛙跳 597 期

Author 作者 游森棚/任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。

IMO的翻硬幣

今(2019)年的國際數學奧林匹亞數學競賽(InternationalMathematicalOlympiad,IMO)甫於7月在英國巴斯(Bath)舉辦。IMO每隊6人,只考6題,每題7分,其中第五題是相當有趣的翻硬幣問題。
 
問題:小明把n枚硬幣由左至右排成一列,如果恰有k枚正面(head, H)朝上的硬幣,他就把從左邊數來第k枚硬幣翻面過來。一直這樣翻下去,直到所有的硬幣都是背面(tail, T)朝上為止,例如從THT會這樣翻:

 
THT→HHT→HTT→TTT
 
亦即翻3次後停止。

(1)請證明不管一開始硬幣正反如何,一定能翻到全部背朝上。
(2)求出所有2n種硬幣狀態所需要翻的次數平均。

例如說,3個硬幣有23=8種初始狀態,把每一種都試一
試,會有以下的結果:
HHH→HHT→HTT→TTT(3次)

HHT→HTT→TTT(2次)

HTH→HHH→HHT→HTT→TTT(4次)

HTT→TTT(1次)
THH→TTH→HTH→HHH→HHT→HTT→TTT(6次)
THT→HHT→HTT→TTT(3次)

TTH→HTH→HHH→HHT→HTT→TTT(5次)

TTT(0次)

 
的確,不管初始狀態如何,最後都可以翻成全部反面朝上。而且,平均需要翻
 
3+2+4+1+6+3+5+0/8=3(次)
 
一般來說,n個硬幣時平均要幾次呢?答案公布在最後,讀者可以先闔上雜誌試試看。......【更多內容請閱讀科學月刊第597期】