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2019-04-01步步思考 領略極限意義 592 期

Author 作者 張恩典/就讀宜蘭大學生物機電工程系。
現代的科學知識,包含許多的證明和公式,如數學、物理,但也富含許多的知識和原理,如化學、生物學。而面對課本上的種種知識,人們也就自然地吸收,但是筆者小時候常會有一種奇怪的感覺,面對書上的知識很卡,沒有感覺。當時會想,為什麼定義會這樣被訂定出來?最早是怎麼訂出來的?又是如何一步一步得到結果?這些疑惑,一直等到上大學後,開始有較多的時間可以思考,慢慢地了解原來知識的發現可以如此發想。有很多既有的定義和知識,其實都是由生活中微小事物的觀察與直覺性的思考逐步延伸,延伸出現在所熟知的定律與知識。或許會有很多人認為,數學課本上的定義就是前人所訂,沒必要問「為什麼」,定義就是定義。但其實可以從生活中看出定義的端倪,而且其證明的來源,通常也是很簡單、很直覺的,並不會有疏離感。

如果稍微整理一下,可以得出以下2 個重點:
1.簡單:最原始的概念都是源自於人們平常生活觀察到 的現象和常識。
2.直覺:每一步的推論都很符合人一般的直覺想法。

其實現在的許多科學知識,最早都是由這2 個重點延伸 而來,從簡單到複雜、從直覺到抽象,然而教科書常常把中間的過程省略,以至於所讀到的都是很複雜和抽象的知識,也因而讓很多人對學習感到懼怕、就算敢學,也不知道在學什麼。

 

極限的定義

或許,講到這裡還是有很多人聽不懂筆者想表達什麼,那就舉一個例子來闡述此概念。由於筆者較擅長數學和物理,所以就以數學為例,從微積分的最基礎觀念——「極限的嚴格定義」來說起。極限的嚴格定義對於大部分的人來說非常抽象,且數學符號非常的複雜。但是實際上,最早也只是從生活周遭出發的直覺概念,就是很靠近很靠近卻碰不到的概念而已,如圖一所示。

圖一中的公式是一個常常在微積分教科書上看到的定義;相信大部分的人看到這個抽象且複雜的定義就看不下去了。但是沒關係,這裡先從簡單又直觀的定義開始,下面就詳細的把思考過程的細節寫出來。

1.極限的直觀想法:一直靠近某個地方,但不會碰到。
所以,將此直觀想法先轉換成數線上的現象,想像一面 牆壁在數線2 的位置,然後有一個變數x 無限地靠近這 個牆壁,但是卻不碰到。如果是在x 軸上的話,直觀想 便如下圖所示:

這樣代表什麼意思呢?不就是x=1.9、1.99、1.999、 1.9999……
反過來,極限不也可以從另外一邊逼近嗎?如下圖所示:

那麼x 則可能為2.1、2.01、2.001、2.0001……

那如果換成x 逼近a 呢?若 a 為任意數,中間那段的咖 啡色距離不是會越來越小?這個距離要怎麼表示呢?如下 圖,就是從左邊逼近的距離=a-x。

同理,從另外一邊逼近的距離要怎麼表示呢?如下圖, 則是從右邊逼近的距離=x-a。


這時把2 個式子做個整理:
a-x= -(x-a)   ……(1)
            x-a        ……(2)

式 (1)和式(2)有什麼關係?其描述都是x 和 a 之間 的差距,而差距永遠都是正值,所以可將2個式子合併成:
|x-a|

不過,現在討論的是「極限」,只是一直在靠近,並不 會碰到,也就是說x 不能等於a,那要如何用數學方式描 述呢?只要讓x-a 大於0 就可以了吧?換句話說,式子可以寫成:
0 < |x-a|
 
......【更多內容請閱讀科學月刊第592期】