文章專區

Take Home Message
• 圓形普遍存在於我們的生活周遭，從月亮、馬克杯、車輪、果實等皆是，只要計算這些圓的周長與半徑的比值，永遠會得到同樣的數值π。
• 自古以來，有許多學者採取不同方法來得到更精確的π 值，阿基米德利用幾何方法，近代人則採用無窮級數，現代更透過雲端服務達到前所未有的精確度。
• 看似與圓周率無關的事物，也能夠計算出圓周率。例如法國博物學家布豐的投針實驗，進一步推動了數學機率論的發展。

去（2022）年9 月14 日，一名日本網友在Twitter分享他買了一本很瘋狂的書，名為《圓周率100萬位數表》（円周率1,000,000 桁表），整本書只有圓周率（π）小數點後的數字。書本的售價同樣是「很圓周率」的314 日圓（約新臺幣69 元）。這本書的作者牧野貴樹就讀大學時非常痴迷圓周率，不但自己寫程式計算圓周率，甚至後來決定把數據列印成書，1996 年委託「暗黑通信團」出版，首刷30 本。沒想到，這本書在日本的漫畫二創展覽會上廣受好評，於是他決定二刷300 本，並在市區書店上架販賣。

牧野表示當初只是抱著好玩的心態，心想庫存賣光後就不再印刷，但意外的是顧客及書局的訂單不斷上門，需求量大到讓他決定重新印刷。這本書一賣就是25年，從「第3.14 刷」（3 刷）、「第3.141 刷」、「第3.1415 刷」，到去年3 月的「第3.141592653589 刷」（15 刷），截至去年5 月底，已經賣出3 萬8172 本。

（123RF）

圍繞在生活周遭的圓

宋詞「但願人長久，千里共嬋娟」。抬頭仰望天空，月亮在滿月時總是圓的，這是為什麼？古人早就由這個現象推斷月亮是一個球體，不論從哪一個方向看過去，它都是圓的，不會「橫看成嶺側成峯，遠近高低各不同」。

自然界中充滿圓的形狀，像是星球、彩虹、樹幹、果實、珍珠等；日常的食衣住行育樂也常見圓形，如圓盤、馬克杯、圓領、手鐲、圓拱、車輪、籃球、摩天輪等。人類研究圓，也就成為一個自然的問題。

測量一個圓的周長，然後除以它的直徑，無論是什麼大小的圓，這個比值永遠都是一樣的。這個常數比值就叫做pi，用希臘字周長的第一個字母記為π，這是1706 年由數學家瓊斯（William Jones）提出的。它的值滿足：

3 <π< 22/7。

關於圓周率，我們要研究的有兩件事情：第一，不管圓是小如硬幣、或者大如車輪，它的周長和直徑的比值為什麼都一樣？第二，要如何決定π的準確值？
 
π出現在許多圓形的物體裡，舉例來說，一個半徑為r的圓盤，它的周長是2πr，面積是πr²。在空間中上下移動圓盤，可以掃出一個直圓柱，它的體積和表面積涉及π；旋轉一個直角三角形掃出一個直圓錐，它的體積和表面積一樣涉及π；旋轉一個半圓盤掃出一個球體，它的體積和表面積也涉及π；如果觀察甜甜圈狀的環面，它的表面積是4π²Rr，而體積是2π²Rr²；一顆行星繞太陽一周所花的時間為。
 
更驚人的是，π發生在一些和圓不相關的地方。舉例來說，在玩彈珠檯時，球會隨機掉落在下方的洞，其機率分配函數中呈現一個鐘型曲線，稱為高斯曲線（Gaussian curve，y=ae^{-(x-b)²/2c²}），有些老師用高斯曲線給學生打分數；微積分課堂的學生，計算出曲線y=e^-x² 下的面積為√π；電子工程師發現交流電與收音機及電視的輻射之間的相關公式也涉及π。綜合來說，在生活周遭你都會遇到π。

圓周長和直徑的比值是常數

在發明輪子之前，人們就已經發現圓是一個強而有力的符號，它有無限的對稱性，這在月亮或花朵的形狀上都可以發現。為了建造圓形寨子或圓形寺廟，人們需要估計繞一圈的長度和橫跨距離之間的關係。

早期文明時人們就已經了解，所有圓周長和直徑的比值都一樣，經過小心的測量，他們發現這個比值略大於3。《聖經》有π的估計，用的值是3。

巴比倫人用的值是，也就是3.125。埃及人用的值略微不同，是256 除以81，大約是3.16。

雖然人們知道所有圓周長和直徑的比值都一樣，但直到希臘人才首先解釋，為何圓會有這種類似線型圖形的性質：若將兩個圓看成相似形，直徑和周長都看成「邊」，則對應「邊」長的比值一樣。

這可如此說明：將圓的直徑放大c倍，得到另一個圓，則它的內接正n邊形周長同樣放大c倍由於邊數變大時，圓內接正多邊形周長趨近於圓周長，所以圓周長也放大c 倍。歸結到對於所有圓，圓周和直徑的比值都是一樣的，現在我們常用π表示。因此如果圓的半徑是r，它的周長就是2πr。利用圓的內接正n 邊的面積趨近於圓面積可以類似地說明，圓面積除以半徑的平方也是一個常數，這一個比值是自然界的另一個基本常數。

希臘時期數學家阿基米德（Archimedes）有一個令人吃驚的發現，這個新的常數其實就是我們的老朋友π。也就是說，半徑是r 的圓，它的面積是r²π。這個公式在不同文明中，一再被重複發現。一種常見的說法是：將圓盤等分成偶數片，把其中半數排列成齒狀，另一半插入齒間的空隙中，形成一個幾乎是平行四邊形的形狀（圖一），但是面積和原來的圓一樣。當等分的片數越來越多，這個形狀越來越接近一個高為半徑、底為半周長的長方形，面積慢慢變成πr•r=r²π。

另一種解釋的方法則是：將圓盤分成一些等寬的同心環，然後將每一個環拉成一個約和它等面積的長方形，最長的長方形的長是2πr。它們疊成一個鋸齒狀，上短下長的「類直角三角形」（圖二）。當等分的環數愈來愈多，這個形狀愈來愈接近高為半徑、底為周長的直角三角形，面積也就慢慢變成。

古代用幾何圖形計算圓周率
因為π是如此地基本，幾千年以來人們都在試著決定它的準確數值。

第一個嚴肅嘗試的人是阿基米德，他用單位圓的內接與外切正多邊形邊長估計π。首先，當我們比較單位圓的周長與它內接正六邊形的周長，可以知道π大於3。將內接正六邊形放大2√3 倍，形成單位圓的外切正六邊形，比較單位圓的周長與其外切正六邊形的邊長，可以得到π小於2 √3≈3.4641。

阿基米德持續將邊數加倍，由正12邊形、正24邊形、正48 邊形，一直到正96 邊形，發現準確到小數後第二位的π 的估計值，也就是。這個π 的上界22/7 是一個很好的近似值，一直沿用至今。阿基米德的計算，主要的步驟是利用畢氏定理，由正n 邊形的一邊長S_n（圖三），算出正2n 邊形的一邊長S_2n（圖三）：。

要注意的是，這些計算過程一再使用平方根，如果是現代，我們有許多好的計算工具，求平方根輕而易舉。但是在古代求平方根要用手算非常不容易，阿基米德窮其一生也只能算圓周率準確到3.14，已經很了不起了。

許多世紀以來，埃及、印度、中國以及其他各種文明的人一再精煉阿基米德的方法。例如，三國時代劉徽改進了阿基米德的方法，用更簡便的方法取代了較難計算的外接正多邊形周長，使得圓周率的計算更精確。他先通過分割圓為192邊形，計算出圓周率在3.141024 與3.142704 之間，得到π的近似值3.14，並以157/50 表示。後來他發明一種快捷算法，可以只用96 邊形，卻能得到和1536 邊形同等的精確度，從而得到圓周率的近似值3.1416。

南北朝時期著名數學家祖沖之用劉徽割圓術計算11 次，分割圓為12288 邊形，得到圓周率π 的近似值3.1415926，成為此後千年世界上最準確的圓周率。這個紀錄一直到了阿拉伯數字發明之後，才有了新的進展。阿拉伯數字的十進位制使得算術計算更有效。

近代用無窮級數的方法計算圓周率

從15 世紀開始，歐洲人的海上探險大有斬獲，而在16 世紀進入航海熱潮。為了可靠而安全的航海需求，帶動了許多科技產業，包括天文學的觀測與研究，或是當時日益複雜的科學、航海與經濟活動，都需要大量而精密的計算。

例如測量需要三角函數， 古希臘學者托勒密（Claudius Ptolemy）已經在西元150 年算出從0°到90°每1/4°的正弦函數（sin）值，這是古代計算極重大的成就之一。但是， 14°的差異，在100 公里外將造成近8 公里的差距，顯然我們還需要更精確的正弦函數值。這些值該怎麼算？另外，開根號、指數、對數等的計算也都面臨相同的問題。

這時候的第一個轉機是，巴斯卡發展了機械型自動計算機，這也是日後電腦的源頭之一。更重要的是微積分的發展，只需使用加減乘除，就可以計算非線性的指數、對數、三角函數。關於計算π 的近似值，可以考慮無窮級數：

它提供了不需要用幾何圖形計算π 的方法，因為π = 4f(1)。計算時，試想要精確到第幾位，計算到無窮級數的某一項就夠了，因為1/n逐漸趨近於0。但是這樣的計算要到很大的n 才會得到好的近似值，很不經濟。英國天文學家梅欽（John Machin） 是第一個改良公式的人， 他推導出π=16f(1/5) - 4f( 1/239) ，用x=1/5和x= 1/239代入級數，需要計算的項數大大減少，就能得到一樣準確的近似值。其後人們發展出更多更精確的公式。到了1987 年，美國楚德諾夫斯基（Chudnovsky）兄弟得到：

2019 年3 月14 日，Google 宣布日籍女工程師岩尾（Emma Haruka Iwao，岩尾はるか）利用雲端服務，耗時四個月算出圓周率小數點後31.4 兆位數，刷先此前22.4 兆位數紀錄，以此紀念π 對科學發展的重要性。電腦協助數學計算，到此可以說已經到達了神奇的境界。

沒有圓的圓周率
圓周率還有一些難以想像的用處，在沒有圓的地方也出現了圓周率。

18 世紀的某一日，法國博物學家布豐（Comte de Buffon）邀請了許多朋友來家中做客，席間一起做了一個實驗。布豐先在桌上鋪好一張大白紙，白紙上畫滿了等距離的平行線，再拿出很多等長的小針，小針的長度剛好是相鄰平行線間距的一半。布豐說：「請大家隨意把這些小針往白紙上扔！」客人們紛紛照他所說的做。

他們總共投擲了2210 枚小針。統計結果得到，與紙上平行線相交的有704 枚。計算兩數的比值2210/704 ≈3.142，布豐說：「這是π 的近似值。每次實驗都會得到圓周率的近似值，而且投擲次數愈多，求出的圓周率近似值就愈精確。」

這就是著名的「布豐投針實驗」。布豐發現，如果選用的小針長度固定，那麼針與平行線相交的次數與總共投針次數的比，就是一個包含π 的式子。特別的是，如果小針的長度是平行線距離的一半，那麼針與平行線相交的機率恰好是1π 。後來也有許多人重複做了這個實驗，一再證實布豐的發現。另外，透過幾何、機率、微積分等不同領域和多種管道都可以證明，針與平行線相交的機率與π 有關，這仍然令人驚訝。

布豐投針實驗是第一個用幾何方式來表達機率問題的例子，也是首次利用隨機實驗來處理確定性的數學問題，後來推動和促進了機率論的發展。

布豐投針實驗：在一張白紙上畫滿了等距離的平行線，並朝其投擲長度為平行線間距一半的小針（或如圖的火柴），只要投擲的數量夠多，小針總數和與平行線相交的小針數的比值就會接近圓周率。（McZusatz, CC-BY-SA 3.0, Wikimedia Commons）