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Take Home Message
►幸福結局問題起源自一個平面幾何問題：給定平面上五點，如果任意三點不共線，則其中必有四點構成凸四邊形。
►為了將這個幾何發現推廣到更多邊的凸多邊形，匈牙利數學家艾狄胥與他的好友塞凱賴什嘗試找出「如果任意三點不共線，平面上最少要有多少點，才能保證其中必有n點構成凸n邊形？」他們猜測的點數為N₀ (n)=2^n-2+1。
►艾狄胥一生未婚，他經常帶著一只皮箱，到處旅行找朋友討論數學，並用數學打賭。而他也是一位不藏私，誨人不倦的學者，與他一起撰寫論文的共同作者高達511 人。

匈牙利數學家艾狄胥（Paul Erdős）一生寫過1525篇學術論文，數量多而且分量紮實，其中不乏引領方向的經典之作。艾狄胥年輕時和匈牙利數學家塞凱賴什（George Szekeres）合力，解決同為匈牙利數學家的克萊因 （Esther Klein）所提出的平面幾何問題⸺「幸福結局問題」（Happy Ending Problem）。

無名者銅像下的聚會

艾狄胥自小就顯露他的數學才能。1930 年代初，他和一群年輕同好每週日到布達佩斯郊外爬山，或在城市公園裡無名者青銅像下的長椅上聚會聊天、談論時事、研討數學。有一次，克萊因提出一個古怪的平面幾何問題：「給定平面上五點，如果任意三點不共線，則其中必有四點構成凸四邊形。」

四邊形是一種由四條只交在端點的線段所構成的圖形，例如正方形、矩形、平行四邊形、梯形，同理可以有五邊形、n 邊形等多邊形，也有人稱它為簡單多邊形。因為有些人定義的多邊形允許邊交在頂點之外，例如五芒星圖形。至於「凸」是指從多邊形內部的任意一點向圖形內部觀察，都可以「看到」其他所有點，也就是指凸多邊形內部任意兩點連出來的線段仍在該多邊形內部。例如圖一a 的正方形是凸四邊形，而圖一b 呈箭頭狀的四邊形就不是凸四邊形，因為位於一側箭尾的點不能「看到」位於另一側箭尾的點。

圖一

圖二

克萊因說明平面上任意三點都不共線的五點只有三種可能，在每種情況下都能連出凸四邊形：第一種情況是這五點構成一個凸五邊形（圖二a），此時其中的任意四點都構成凸四邊形；第二種情況是其中一點被其餘四點所包圍（圖二b），此時外部四點構成凸四邊形；第三種情況則是其中兩點位於其餘三點所構成的三角形內部（圖二c ），此時可以畫出一條直線通過這兩點，該直線會將平面分為兩部分，其餘三點必有兩點位於直線的同一側，此時這兩點與原來的兩點就會構成一個凸四邊形。

幸福結局問題

大家都很喜歡克萊因這個簡練的證明，於是想要將證明推廣到構成更多邊的凸多邊形中。……【更多內容請閱讀科學月刊第631期】