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大家都知道《三國演義》是這樣開場的：「話說天下大勢， 分久必合， 合久必分。」讓人沒想到的是，這一句話也應驗在教育領域。在美國，教育向來是州政府的職權，而各州傳統上都有獨立的課程綱要與評量標準。但是現在，美國不但在2010 年提出了一套稱為CCSS（Common Core States Standards）的文件《各州共同核心標準》，並且將從2014 年起實施各州一致的評量。

依據美國憲法，聯邦政府不能干預各州的教育。所以，美國總統及教育部長都澄清自己樂觀其成的立場，宣稱這是各州自發的行動。但是這種政治語言的澄清只是說明「此地無銀三百兩」而已，聯邦政府運用各種威逼利誘的手段，要求各州就範。我們之所以說「各州」而不敢說「全國」，就是因為目前還有四個州抵抗，不肯加入：阿拉斯加、德州、內布拉斯加、維吉尼亞。

本欄在一年前（101 年9 月）就提到了CCSS文件。當時說過，它的副標題很務實，甚至務實得看起來像廣告：College and Career Readiness（為大學與職場做好準備）。這個副標題，很能讓我們了解這套課程標準的設計宗旨。CCSS 將核心課程分成兩個領域，第一個領域就是他們的「國文」，分別針對聽說讀寫設定能力標準，並在內容上設計一定比例的知識性文本（non-fiction）；其文件標題包山包海：English Language Art and Literacy in History ／ Social Studies, Science, and Technical Subjects。第二個領域的文件標題就只有一個字：Mathematics（數學）。

關於美國CCSS 的全方位探究，我國駐美代表處教育組張佳琳副組長有一篇精彩的報導。我們這篇短文簡要報導K~8 年級的數學共同標準；所謂K 就是幼稚園大班（進小學前一年），1~5 年級是（美國的）小學階段，6~8 年級是國中階段。高中階段（9~12 年級）的數學課程以後再說。

CCSS 數學標準具體展現了比爾蓋茲的三字真言：Fewer, Clearer, Higher（少一點，清楚一點，高一點）；前兩個字或許可以翻譯成「精要」。除了這三項要領，文件的序言更宣稱它具備Coherence；我們不該含糊地將coherence 翻譯成一個名詞，它有雙重意涵：既要各部分清楚而合邏輯地互相關連，也要在整體上呈現一致的目標或性質。我認為CCSS數學標準認真考慮了上述四項設計要領的每一項。

以「機率統計」為例，在國中小階段，僅列於6、7、8 年級而且著重於「統計思維」，至於「不確定性」的機率概念是以一種「數學模型」的方式導入。這套課程認為數據分析應優先於機率的概念與操作。在幼稚園和一年級，固然都有將物件或事件分類並計算總量的教學活動，但它們被列在「測量與資料」內容向度，而非統計。我猜，他們如此細分內容向度的名稱，是「必也正名乎」的作法：強調統計要教的是它的思維方式，而機率要教的是不確定性。這兩者，都從小學抽離，使得小學教師只須單純地教導分類、計數、整理與呈現資料即可。

統計思維從六年級正式開始，此時的內容基本上就是一維數據分析，包括數線上的散佈圖，直方圖，以及認識資料的集中或分散情形。七年級開始了基本的隨機抽樣活動，並試著從樣本推論母體的性質；並沒有正式介紹信心水準。然後，根據兩個群體的同類數據，例如兩個年級學生的身高，經由觀察數據或散佈圖來比較兩群之間的異同。最後，藉由數據的次數比值引出機率模型，並發展基本的古典機率。八年級學習二維數據分析，包括坐標平面上的散佈圖，回歸直線的意涵與應用，在具有線性關係的散佈圖上非正規地找到最適直線，並了解其斜率與截距的意義，非正規地推論兩組數據的相關性。

在「幾何」內容方面，CCSS 數學課程的設計總是讓平面與空間的觀念與操作比肩共進。除了在三、四年級偏重平面圖形而沒有對應的空間觀念以外，從K 到八年級的每一年都同時有平面和空間的幾何課題。以八年級為例，CCSS 規劃了三角形內角和、外角和，以及畢氏定理，還有（直）圓柱、圓錐和球的體積，並強調能夠用來解決實際的問題。

在「度量衡與時間」方面，CCSS 的內容相當簡要。一年級發展測量長度的觀念，能對整點與半點的時間報時。二年級學著用標準的單位（英吋、英尺、碼、公分、公尺）測量長度，特別要做同一個物件被兩種單位測量的活動，要能以五分鐘的間隔報時，並有上、下午的說法。三年級學習重量和容量，但是僅針對少數常用的單位，能以一分鐘的間隔報時，並學習同量級內的加減計算。四年級學習跨量級的計算（包括英尺和英吋、盎司和英鎊、毫升和公升、公里公尺和公分、時分秒），並用以解決情境問題。五年級把前述能力擴展到分數和小數，度量衡與時間的課程到此為止。

數線的認識從二年級開始，不但要在數線上標示0, 1, 2, ……，還要能在數線上表示100 以內兩個全數的和、差。然後，在三年級就開始學習分數，先在數線上標示單位分數1 ／ b，然後推及a ／ b，其中a 和b 都是正整數。既然已經把分數標示在數線上，立刻就學了分數的比大小。至於等值分數、以通分比較分數的大小，以及分數的簡單加減計算（容易通分的）和分數乘以正整數，都在四年級。

而五年級則延續學習更為一般的分數加、減、乘計算，以及除數是正整數或單位分數的除法計算。五年級介紹了直角坐標平面，但只有第一象限，而且僅限於認識點與坐標的對應。到了六年級才學習完整的（正）分數除法運算，並統整認識負整數、負分數、以及坐標平面的四個象限。真正的負數計算，包括a ＋ ( － b)＝ a － b 與a － ( － b) ＝ a ＋ b，到了七年級才學。而八年級引進了平方根、立方根、科學記號；此時無可避免地要談有理數與無理數，CCSS 建議以直接的計算經驗，推論有理數的十進制數值可能是無窮循環小數，同時就教學生如何將無窮循環小數的有理數轉換成分數形式。

小學低年級的核心數學必然是十進制數字的位值觀念及搭配位值的四則算法，CCSS文件對此有細緻的安排。舉其要者，他們把「唱數」和「計算」拆開來處理；例如，在幼稚園要能從任一個全數開始向上數到一百（幼稚園就學習0），但在計數上，只要求數出廿以內的物件，能寫出0 到20 之間的數字，用廿以內的二位數認識位值，能以不只一種方法拆開十以內的數，並能湊十。發展到二年級，已經可以兩兩數（奇偶觀念）、五五數（5 的乘法）、十十數和百百數至千以內的數，但是在計算上仍只強調百以內的加減，並在廿以內發展乘法觀念。值得注意的是，CCSS 要求學生在二年級結束前，能背誦九九加法表，熟練地心算廿以內的加減。三年級同時進乘法和除法，乘法僅限一位數乘以一位數，或者乘數為十的倍數，而除法則以乘除互逆呈現；CCSS要求學生在三年級前，能背誦九九乘法表。前面提過，在三年級學習除法之後，就學習單位分數了。

以上簡略的檢視，大家都會發現，數學課程要求認識大數，卻不必計算大數。這顯然是因為美國的學校使用計算器。事實上，2014年起實施的各州共同評量，將是線上測驗，學生將能在受測時使用一定的計算輔助工具。為了實施線上測驗，課程標準衍生了對於學校資訊設備與網路頻寬的硬體標準，教科書與軟體公司也有很多事情要忙；這可能就是比爾蓋茲經常被提起的原因了。

科技工具不只給學生當作計算工具，也用來輔助教學。例如，在八年級教導「全等」觀念時，課程標準指定用電腦工具展現平移、旋轉、鏡射等剛性映射，藉以了解全等；然後，用zoom in 和zoom out 了解相似。

讀到這裡，有沒有如芒在背的感覺？美國這樣一個講究個人差異與多元價值的國家，真的能實施全國性的課程嗎？從加州經猶他和愛荷華到麻州的全國孩童與青少年，真的能夠一致跟上意圖這麼「High」的課程嗎？最根本的問題是，美國對於亞洲的崛起，真的感到這麼強烈的危機嗎？這份文件對年輕人釋放的訊息是：「好日子快要過完了」，但是從它受到教育界、學術界、企業界、甚至國防部的讚頌背書看來（當然也有反對聲音），他們是玩真的：文件裡說這份標準是「我們意欲信守的承諾」（promises we intend to keep）。

教育學者都知道，美國的數學教育曾經完全走錯了方向，徹底失敗。美國人針對他們自己的問題，反省之後提出更弦之策，是他們的國內事務，跟我們未必相干。只可惜，地球是「平的」，像美國這樣史無前例的大動作教育興革，世界各國不可能無動於衷。事實上，英國和德國的最新課綱都已經受到美國這份標準的影響。美國學者不一定最有智慧，他們的方法不一定能解決我們的問題，但是美國仍是資源最豐富的國家，這一份CCSS 數學標準可能是以空前的智力、財力、與行政力創造的結果，絕對值得我們認真考察。

參考資料
1. Common Core States Standards: Mathematics,http://www.corestandards.org/Math
2. 張佳琳，〈美國國家課程時代的來臨：各州共同核心標準之探究〉，《教育研究與發展期刊》9 卷第2 期1-32，2013 年6 月。