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2013-12-01算兩次
528 期
Author 作者
游森棚／任教台灣師範大學數學系。
微積分之中有個富比尼（Fubini）原理：若f (x, y) 在長方形區域R：a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d 中連續，則
這定理直觀上很容易說明，就是說，要算一大塊蘿蔔糕的體積，可以直的切成長條，全加來，或是橫著切成長條，全加起來。
很多連續的定理都有離散的形式。Fubini原理的離散形式就是
就是說，要算m × n矩陣中的元素和，可以每個橫排算完後再全部相加，或是每個直行算完後再全部相加。
簡單說，就是用兩個方式去算同一個量，因此「Fubini原理」又有一個生動的說法稱為「算兩次原理」。更抽象一點說，離散的Fubini定理就是：
用兩個方法算同一個量，結果會一樣。
這貌似廢話一句——但是它的確非常有意思。底下舉三個中學數學裡有趣的例子。
無言的證明
高中數學歸納法一定會有一題例題：
證明1 ＋ 3 ＋ 5 ＋……＋ (2n － 1) ＝ n2
忘掉數學歸納法吧！我們現在用兩個方法來算下列n × n點陣的點數。第一個方法，長寬各n，當然一共有n × n ＝ n2個點。第二個方法，從左上角慢慢挖掉愈來愈大的正方形，得到1 ＋ 3 ＋ 5 ＋……＋ (2n － 1)。
因此由Fubini 原理，1 ＋ 3 ＋ 5 ＋……＋(2n － 1) ＝ n2。
我個人一直覺得除了數學歸納法以外，這個證明也應該要教給學生——因為數學歸納法牽涉到形式操作和邏輯論證，而用Fubini定理的證明牽涉到美感以及直覺。這是數學的兩個不同面向，不可偏廢。而能讓學生體會美感和直覺的例題很少，這正是一個好機會。我相信讀者應該非常順利可以看出來底下要怎麼辦：
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋……＋ (n － 1) ＋ n ＋ (n －1) ＋……＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ n2
美國數學學會（MAA）曾經出版了兩本無言的證明（Proofs without Words I, II)，裡面有數以百計的初等數學等式或不等式的證明。其中有一些就用到Fubini 原理，有些想法相當巧妙。比如，讀者能否挑戰一下證明
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