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2021-03-30三體問題對近代數學的影響
616 期
Author 作者
陳國璋／清華大學數學系教授。
由中國科幻作家劉慈欣撰寫的《三體》小說，不但榮獲雨果獎最佳長篇小說（Hugo Award for Best Novel）的殊榮，科幻迷也對於書中許多關於物理、數學、天文等題材感到如癡如醉。而故事中提到的一個外星文明「三體人」，他們居住的星球位在三個恆星的系統中，讓讀者們開始好奇三體問題（three-body problem）。三體問題來自於天文學，它不是單一的數學問題，而是泛指三個星體在重力影響下的運動行為研究，裡面牽涉到無數具體的數學問題，許多至今仍未完全解決。本文介紹幾個歷史上標誌性的進展，簡述這些關於三體問題的里程碑，以及對近代數學發展的影響。
牛頓力學與微積分
牛頓於1687年所發表的《自然哲學的數學原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）裡提出萬有引力定律，說明質點間以反平方律（inversesquare law）沿著連線方向相互吸引，此定律是天體力學的基礎，用以建構各類多星體系統運動的數學模型。牛頓理論無論在數學還是物理的貢獻都是劃時代的。
牛頓把星體看成是空間中體積為零的質點，為了解釋此事，他證明了具備球對稱的星體，在星體外的重力場無異於把質量全集中於球心所得的重力場。對於學過微積分的人來說，這是一道利用球座標計算三重積分（triple integrals）的簡單習題，但在牛頓建立微積分理論之前卻是一大難題。微積分在數學、自然、人文科學的重要性眾所週知，不在此贅述。
成功的理論除了需要解釋既有的觀察，也需要能夠提出預測。一個著名實例是天文學家哈雷（Edmond Halley）利用牛頓理論計算行星對彗星的影響，在1705年正確預測了一顆彗星將在1758年底再次出現，後來該彗星以他命名。想像一下那個把彗星視為災禍的迷信年代，這是個多麼驚人的發現！當時一篇雜誌評論道出此事的巨大影響：「牛頓太陽系理論的真實性成為全世界的信念，天文學家的公信力得到充分建立與大幅提升……。」
自似週期解、穩定性與分歧理論
瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler）與法國籍義大利裔數學家拉格朗日（Joseph Lagrange）分別於1762～1764年與1772年發現三類共線與兩類非共線的所有自似週期解（self similar solution or homographic solutions，〔註〕），並證明三體問題只有這五類自似週期解。
歐拉在研究太陽、地球、月球所構成的三星系統時，發現了這樣的特殊解，對此他寫下了一段很有意思的話：「若將月球與地球的距離放大4倍，我們所看見的月球便有可能是永恆的滿月。」換句話說，月球、太陽、地球在這樣的情況下可永遠保持相同的相對位置。大約半世紀後，法國數學家劉維爾（Joseph Liouville）發現這個特殊解其實是不穩定的，所以歐拉宣稱的解雖然理論上存在，但實際上無法實現。
註：自似週期解為形狀保持相似的週期解。
對此，很多人自然會質疑：「無法實現的解能有什麼重要性？」事實上，這些解的重要性遠遠超出20世紀之前人們的想像！若把月球換成人造飛行器，可以將其置於太陽地球間的適當位置，也就是歐拉的共線自似解之一；而置於太陽地球連線延伸的適當位置，可得到另一個歐拉的共線自似解。這兩處可利用重力平衡以幾乎零耗能的方式運作，是觀測太陽與架設太空望遠鏡的理想位置，現今已有多個觀測器被置於這兩個自似解附近，如國際彗星探測器（International Cometary Explorer）、太陽和太陽圈探測器（Solar and Heliospheric Observatory, SOHO）、赫歇爾太空望遠鏡（Herschel Space Observatory）等。……【更多內容請閱讀科學月刊第616期】