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2014-05-01由多項式轉入微分課程之芻議
533 期
Author 作者
單維彰／任教中央大學數學系。
湯普森（Silvanus Thompson）在他出版於1910年的微積分教科書上說：「有些微積分技巧相當簡單，有些超級困難。那些寫高等數學教科書的傢伙，很少費功夫跟你說明那些簡單的部份有多簡單。」
大家都默認微積分的「高深」，長年以來不曾考慮將它放進高中數學課程。然而，它困難的那一部份，是不是在19世紀嚴格化之後才發生的？而微積分的學習門檻，是不是嚴格化的極限觀念？如果這一套從20世紀傳到今天的由極限切入微積分的課程「傳統」是必須的，那麼18世紀以前的人們難道都沒學會微積分嗎？
這篇文章想建議一套可以實施在高中一年級的多項式微分課程，它搭配著多項式的學習而進，不但發展微分的觀念並讓學生提早掌握（多項式）微分的威力，並使得多項式本身的學習充滿動機與活力，還為數學的極限觀念與物理的自由落體課題奠定了基礎。
我為這套課程編寫了4節課的教案，並且在麗山高中（僅前2節）、育達高中、武陵高中、和中壢高中對一年級的學生試教過。因為我對學生的反應有第一手的經驗，並獲得其成效的信心，所以才寫在這裡就教於更廣泛的讀者。
假設多項式課程還是沿著99課綱的脈絡而展開，先學習單項函數f(x) ＝ axn的圖形特徵與係數a和次數n的關連，其中n 以1, 2, 3, 4為主，並討論奇偶性。然後講到n 次多項式函數，在數值上認識，當∣ x ∣ >>1，f(x) ≈anxn，而表現在圖形上，就是多項式函數的圖形，宏觀而言就像其首項函數；這就是降冪排列的一個意義。
然後，複習多項式除法以及除法原理，但不必過多，很快就聚焦在除式為x － a的情況，而發展綜合除法。由餘式定理發現綜合除法也是求多項式函數值的快速算法。接著就講綜合除法的另一個應用：連續使用綜合除法，若得到的餘數依序為c0、c1、…、cn － 1，則f(x)＝ c0 ＋ c1(x － a) ＋ c2(x － a) 2 ＋…cn(x － a)n稱為f(x) 的（升冪）泰勒形式，其中cn ＝ an 而c0 ＝ f(a)。然後帶學生認識泰勒形式的典型用途：當x ≈ a，估計f(x) 的值。由計算而認識：泰勒形式意在估計，越高次項越不重要；這就是升冪排列的一個意義。
以上兩段都還是傳統的高中數學課程。從這裡可以轉入微分了。從計算估計值的經驗得知：當x ≈ a，函數值f(x) ≈ f(a) ＋ c1(x － a)；既然如此，兩者的函數圖形也將非常近似。而y ＝ f(a) ＋ c1(x － a) 與函數f通過同一點(a, f(a))，是一條斜率為c1的直線。用電腦繪圖，動態展現f(x) 在a 附近之局部圖形，學生都能觀察出來局部圖形「像」一條直線的事實。在「看起來最彎」的地方（發生極值的點附近）的效果最具有戲劇性：它不但像一條直線，而且是一條水平線。我們定義y ＝ c1(x － a) ＋f(a) 是f(x)在a的切線，並仿照其c0的意義，將c1記作f ’(a)，讀作f prime of a，稱為f在a的導數。......【更多內容請閱讀科學月刊第533期】