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2019-09-01翻硬幣與青蛙跳
597 期
Author 作者
游森棚／任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。
IMO的翻硬幣
今（2019）年的國際數學奧林匹亞數學競賽（InternationalMathematicalOlympiad,IMO）甫於7月在英國巴斯（Bath）舉辦。IMO每隊6人，只考6題，每題7分，其中第五題是相當有趣的翻硬幣問題。
問題：小明把n枚硬幣由左至右排成一列，如果恰有k枚正面（head, H）朝上的硬幣，他就把從左邊數來第k枚硬幣翻面過來。一直這樣翻下去，直到所有的硬幣都是背面（tail, T）朝上為止，例如從THT會這樣翻：
THT→HHT→HTT→TTT
亦即翻3次後停止。
（1）請證明不管一開始硬幣正反如何，一定能翻到全部背朝上。
（2）求出所有2n種硬幣狀態所需要翻的次數平均。
例如說，3個硬幣有23=8種初始狀態，把每一種都試一試，會有以下的結果：
HHH→HHT→HTT→TTT（3次）
HHT→HTT→TTT（2次）
HTH→HHH→HHT→HTT→TTT（4次）
HTT→TTT（1次）
THH→TTH→HTH→HHH→HHT→HTT→TTT（6次）
THT→HHT→HTT→TTT（3次）
TTH→HTH→HHH→HHT→HTT→TTT（5次）
TTT（0次）
的確，不管初始狀態如何，最後都可以翻成全部反面朝上。而且，平均需要翻
3+2+4+1+6+3+5+0/8=3（次）
一般來說，n個硬幣時平均要幾次呢？答案公布在最後，讀者可以先闔上雜誌試試看。......【更多內容請閱讀科學月刊第597期】