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2019-04-01步步思考領略極限意義 592 期

Author 作者張恩典／就讀宜蘭大學生物機電工程系。

現代的科學知識，包含許多的證明和公式，如數學、物理，但也富含許多的知識和原理，如化學、生物學。而面對課本上的種種知識，人們也就自然地吸收，但是筆者小時候常會有一種奇怪的感覺，面對書上的知識很卡，沒有感覺。當時會想，為什麼定義會這樣被訂定出來？最早是怎麼訂出來的？又是如何一步一步得到結果？這些疑惑，一直等到上大學後，開始有較多的時間可以思考，慢慢地了解原來知識的發現可以如此發想。有很多既有的定義和知識，其實都是由生活中微小事物的觀察與直覺性的思考逐步延伸，延伸出現在所熟知的定律與知識。或許會有很多人認為，數學課本上的定義就是前人所訂，沒必要問「為什麼」，定義就是定義。但其實可以從生活中看出定義的端倪，而且其證明的來源，通常也是很簡單、很直覺的，並不會有疏離感。

如果稍微整理一下，可以得出以下2 個重點：
1.簡單：最原始的概念都是源自於人們平常生活觀察到的現象和常識。
2.直覺：每一步的推論都很符合人一般的直覺想法。

其實現在的許多科學知識，最早都是由這2個重點延伸而來，從簡單到複雜、從直覺到抽象，然而教科書常常把中間的過程省略，以至於所讀到的都是很複雜和抽象的知識，也因而讓很多人對學習感到懼怕、就算敢學，也不知道在學什麼。

極限的定義

或許，講到這裡還是有很多人聽不懂筆者想表達什麼，那就舉一個例子來闡述此概念。由於筆者較擅長數學和物理，所以就以數學為例，從微積分的最基礎觀念——「極限的嚴格定義」來說起。極限的嚴格定義對於大部分的人來說非常抽象，且數學符號非常的複雜。但是實際上，最早也只是從生活周遭出發的直覺概念，就是很靠近很靠近卻碰不到的概念而已，如圖一所示。

圖一中的公式是一個常常在微積分教科書上看到的定義；相信大部分的人看到這個抽象且複雜的定義就看不下去了。但是沒關係，這裡先從簡單又直觀的定義開始，下面就詳細的把思考過程的細節寫出來。

1.極限的直觀想法：一直靠近某個地方，但不會碰到。
所以，將此直觀想法先轉換成數線上的現象，想像一面牆壁在數線2的位置，然後有一個變數x無限地靠近這個牆壁，但是卻不碰到。如果是在x軸上的話，直觀想便如下圖所示：