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2019-03-01圓上的格子點 591 期

Author 作者 游森棚/任教於臺灣師範大學數 學系及空軍官校。
前陣子跟學生討論一道困難的試題,一開始敘述是:設k 為正整數,P=A1A2…Ak 為平面上的凸多邊形,且每個頂點都是格點(兩座標都是整數的點),並且同時落在一個圓上,則……(後面略)。

理解這個問題的條件花了一點時間,條件非常嚴苛:P 可以是多邊形,但頂點不僅要在同一個圓上,又要是格點,這真的辦得到嗎?我隨口問,能找到一個圓剛好通過100 個格點嗎?

嘿,這還真難倒我們了,方便起見,讓圓心固定在原點。根本的問題是:一個圓能通過幾個格子點?這引出一片理論,在此跟讀者分享。

通過多少格子點

先動手做實驗:用手算可以得到當n=1、2…20 時x2+y2=n 分別通過4、4、0、4、8、0、0、4、4、8、0、0、8、0、0、4、8、4、0、8…
個格子點。既然都是4 的倍數,除掉4後是1、1、0、1、2、0、0、1、1、2、0、0、2、0、0、1、2、1、0、2…。

這些數據看來都是0、1、2,但這只是假象。再往後看,第25 項會是
3、第65 項首度出現4,把前100
項列出來會長這樣:1、1、0、1、2、0、0、1、1、2、0、0、2、0、0、1、2、1、0、2、0、0、0、0、3、2、0、0、2、0、0、1、0、2、0、1、2、0、0、2、2、0、0、0、2、0、0、0、1、3、0、2、2、0、0、0、0、2、0、0、2、0、0、1、4、0、0、2、0、0、0、1、2、2、0、0、0、0、0、2、1、2、0、0、4、0、0、0、2、2、0、0、0、0、0、0、2、1、0、3。

看起來似乎一點規則也沒有,但錯了! 2 位大數學家勒讓得(Adrien- Marie Legendre)與高斯(Carl Friedrich Gauss)分別解決了這個
問題:如果把n 的奇因數全部列出來,可以分成2 類,一種是4k+1型的(除以4 餘1 的),另一種是4k+3 型的(除以4 餘3 的)。設2類分別有d1(n)和d3(n)個,勒讓得與高斯得到非常漂亮的結果:此數列就是d1(n)-d3(n),因此 x2+y2=n恰好通過4(d1(n)-d3(n))個格子點。......【更多內容請閱讀科學月刊第591期】