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2019-07-01從抽象、純粹到應用的數學轉化 595 期

Author 作者 陳宜良/臺灣大學應用數學科學所名譽教授、臺灣工業與應用數學會前理事長。

大約 50 年前,任教於布朗大學(Brown University)的 謝定裕教授在《科學月刊》創刊的 7 月號撰發表〈關於 應用數學〉一文。今日,在《科學月刊》的邀請下,撰寫 一篇應用數學 50 年發展的回顧,格具意義。文章中指出 「應用數學連結了抽象的純粹數學與真實的自然世界」, 一方面幫助探索自然的奧秘,另一方面也從自然界中吸 取靈感,豐富數學的內涵。因此,他建議數學家可以多 涉略應用方面的課題。隨著 50 年的光陰流逝,應用數學 的發展已遍地開花,對於人類社會及文明的影響非常巨 大,更超出當年所預見。

促成此巨大變化的主因是電腦的快速發展。50 年來,電 腦的運算速度幾乎是年年倍增,體積則大幅縮小。它可 以處理大量的數據,也能透過數學建模、數值模擬解決 複雜的問題。因此,其普及化促使許多傳統學科都發生 數位化及數學化的革命。應用數學的需求日益殷切,許 多新興領域也應運而生。下面將舉幾個傳統及新興領域 的例子,以勾勒部分應用數學領域這 50 年的發展及對人 類社會革命性的貢獻。

 

1. 計算科學與工程
(computational science and engineering):

應用數學領域的一個重要分支是研究與物理科學相關的 偏微分方程式,這些方程式都是根據基本的物理定律所推導出,是描述物質世界的數學模型。例如牛頓(Isaac Newton)的運動學方程式、馬克士威(James Clerk Maxwell)的電磁學方程式,描述量子現象的薛丁格方程 式、統一時空的愛因斯坦方程式,以及描述宏觀現象的 熱傳導方程式、流體力學方程式和彈性力學方程式等。

以往,人們主要發展數學分析工具以探索這些方程式的 解析解。有了計算機後,人們則加強發展數值求解的方 法,將偏微分方程離散化、建構近似解,並在計算機上 進行數值模擬。過去 50 年間,應用數學領域有系統的發 展出一系列具一般性的數值求解方法,包括有限差分法、 有限體積法、有限元素法、譜方法和邊界元素法等。今 日,透過數值方法可以對任意材質、形狀的物件進行力 學性質的分析,並對其製作過程及日後的使用情形進行數值模擬,包括建築物、橋樑、汽車和飛機等。

隨著時間的流逝,計算流體力學、計算力學、計算電磁學等子領域也應運而生。除了用於工業設計與製造,也廣泛用於天氣預報、氣候模擬、海洋研究和天文物理等。這些數值方法常涉及大型矩陣計算,相對應的快速求解 法也成為關鍵技術。另外,許多科學與工程問題中的物理參數、初始或邊界條件是具多重尺度的性質,常以機 率論中的隨機場建模。相對應的隨機偏微分方程式及相關的非確定的量化分析(uncertainty quanti cation, UQ),也都是近 30 年來重要的研究課題,其研究熱潮方興未艾。

 

2. 計算幾何(computational geometry):

電腦圖學(computer graphics)是計算機科學的一個子領域,源自電玩及動畫的需求,是一套在電腦中發展、表現各種幾何形體的工具。這些幾何形體的表面需要貼上紋路光影,並能進行各種變形、運動等,因而誕生的 是計算幾何學,它結合純粹數學中的射影幾何、微分幾 何和代數拓樸等至電腦科學,是一個正在蓬勃發展的新 領域。電腦圖學也運用到電影特效上,創造出怪獸打鬥、 海嘯襲城等影像,可重現古代光影或虛擬未來景象,為 電影創作者創造出無限的想像世界。......【更多內容請閱讀科學月刊第595期】