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2019-07-01國中會考不會考 數學簡單不簡單 595 期

Author 作者 舒宇宸/臺灣大學應用數學博士,用數學經 歷過財務金融、奈米科技、醫學影像及科學 防疫的跨域工作者

「簡單」的數學題目

今(2019)年,國中會考出現一題「簡單」的數學問題(圖一)。以題目所提供的防護率公式,在第一小題由防護率反推防曬指標 SPF,並於第二小題由 SPF 推導防護率。題目定義,SPF 25 的防護率是24 ⁄ 25=96%,SPF 50 則 是 49 ⁄ 50=98%,代表第二代防曬乳液只比第一代多提供 2%的防護率,所以此文宣並不合理。看完本題,感覺似乎非常生活化,但是當筆者靜下心,用手指沾個水在腦袋上畫個圈,於此完美犯案的場景中,靈光一閃地說出柯南的招牌對白:「犯人,就在題目中!」


圖一:108年度國中會考數學科非選擇題第一題。
(國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心)

李組長眉頭一皺案情似乎不單純

108 課綱採取素養導向,看得出大考中心試圖讓數學考題取材生活化,以檢驗學生是否能運用數學解決問題。 可是瑞凡,你知道真實世界有多複雜嗎?防曬係數的問題留在課堂中探究會是一個非常好的課題,但基於這是數學考卷,那就只好假裝「簡單」地在實驗室中,處理這個數學問題。SPF 25指塗上防曬乳後只有1 ⁄ 25 的灼 傷輻射可以通過塗層到達皮膚,假設沒擦防曬乳會在曝曬 1分鐘後曬傷,那麼擦了SPF 25防曬乳的曬傷時間就會增加為25分鐘。而SPF50就只有1⁄50的灼傷輻射可以傷害皮膚,按時間計算是50 分鐘,一堂體育課回來都不會被曬傷呢!

而筆者所說的完美犯案,就是題目的防護率公式,強迫讀者以防護率看待此問題。所以,過程沒有錯,答案也非常完美。但仔細思考,能把皮膚曬傷的部分,應該考慮的變因是會穿透防曬乳的灼傷輻射比例,而非被阻擋掉的比例。因此考慮SPF 25防曬乳的穿透比例是 1 ⁄ 25=4%,而 SPF 50的穿透比例降到 1 ⁄ 50=2%,不就是少一半的穿透光,提高對皮膚的保護2倍嗎?這不 該是個數學公式跟科學素養起衝突的年代,運用科學或數學解釋生活的情境,不正是希望學生學會的嗎?如果考生以上述穿透比例方式作答,在標準答案的框架下可能不會得分,因為對老師而言,考試的答案要能簡單批改用此考題來測驗科學素養,合適嗎?。

媒體素養與神奇的 1 元談完科學素養,接著討論媒體素養。這次的會考據說示範如何以數學考題檢驗媒體素養,甚至有粉絲專頁提到讀者曾讀過相關網路文章。會造成此情況,筆者認為有一類的網路文章是假新聞中較難破解的,舉例來說,一篇假新聞中 87%使用數學工具等難以被推翻的過程,接著給讀者豁然開朗的精神刺激,再夾雜著13%的假資訊〔註一〕,人們便很容易信以為真。於是筆者搜尋相關資料,發現之前網路上曾流傳防曬乳從 SPF 25 到 SPF 50防護只有提升2%的文章。筆者沒想到這種不會考也不該考的網路 文章居然真實成為會考的考題!這類文章,常常誤導思考,網路上的數學題「為何多∕少了一塊錢」就是一例:「某人原先口袋中有50元。購買 20 元的防曬乳與 15 元的數學考卷,再買 9 元數學答案卷,再把剩下的 6 元買零食。然後他就利用試算表將交易的細項做成表格:

 


 

哇!花費的加總沒錯,但找錢的加總卻比原來多1 元!」

此題目讀者或許能一眼看出問題,但是在生活中筆者也曾遇過類似案例,尤其是在記帳時,將消費時找回來的錢記在收入,導致總計越來越多的窘況。同理,防護率公式並沒錯,只是會引導學生錯誤的思考方向。在今年1月舉辦數學建模黑客松時,就希望學生們學習運用數學方式破除假新聞。當時邀請的師大電機系教授賴以威,示範利用數學分析新聞中的數字估計。他曾在數感實驗室撰寫一篇關於高雄跨年夜市賣出2萬杯木瓜牛奶新聞的看法。這些案

例都是提醒讀者,當看到誇大的新聞或文章時,是不是該 靜下心來,思考內容的邏輯與數字的關聯性?筆者感嘆: 「這不就是我們希望學生獲得的媒體素養嗎?」

跳脫思考框架與數感活動體悟

其實要處理真實世界的問題,除了簡單的數學,還有許 多應考量的因素。舉例來說,在處理學生成績問題時, 是否應依照考試的成績結算,還是同理學生在學習上的 挫折進行非線性調分?在生活方面,因生活費有限,是否利用數學最佳化規劃預算,或全用在結婚紀念日給內 人一個驚喜?生活中,數學能處理的,僅僅是「簡單」的層面。買禮物付錢是減法,而收禮人的心情雀躍則是魔法。如同忙碌的生活中,會有撰寫此文章的衝動,除 了讓學生對會考的題目有正確的認識,另一個關鍵點是今年的數感盃。活動當中,有一篇高中組的得獎作品在 網路上被大肆批評,工作團隊及小編出面為該篇作品辯護。但意外的是,原作者來信表示要自己面對,並給出說明。這對一個高中生來說實屬不易,也感動了團隊。 當筆者翻閱自己對該篇作品的評審紀錄,筆者在數學上並無給予高分。但由於評審們是一個跨領域的團隊,評分方式不只侷限於數學,進而觸發整起事件。

在思考探究數感盃事件之後,筆者認為這其實是跨領域團隊所帶來的效益,或許上述的會考題目經過物理老師檢視後會有所不同。所以筆者在此也邀請更多數學家能參與類似的跨域活動,轉換一下思想的羅盤,跳脫數學的邏輯框架。舉例而言,在面對數感盃的新詩或專題寫作,數學與文學的跨域對談,絕不能死守數學非黑即白的領域;其中詩詞間的想像、男女之間的愛情或兄弟之間的義氣等,會感動人的,極少是邏輯推理的結論,反而是人與人之間的情義。在真實的世界中,如果每件事情都能預料,那還會有驚喜嗎?而不在邏輯推理範圍內的,是人性。而唯一看透真相的,不是柯南,是數學。筆者認為:「如果人們相信數學簡單,那是因為他們已體悟真實世界的複雜。」

〔註一〕87%與 13%源於網路用語,並非真實數據。

 

延伸閱讀

1. 有效防曬指標一篇完全搞懂!除了 SPF 跟 PA 你還至少該懂這些!防曬全攻略 2, https://reurl.cc/ljepv。

2. 數感生活——2 萬杯木瓜牛奶得用多少牛奶 ?,https://reurl.cc/MxNWX。
3. 數感盃青少年寫作競賽【# 高中職組專題報導類】銅獎,https://reurl.cc/bjEq6。