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2021-03-30三體問題對近代數學的影響 616 期

Author 作者 陳國璋/清華大學數學系教授。
由中國科幻作家劉慈欣撰寫的《三體》小說,不但榮獲雨果獎最佳長篇小說(Hugo Award for Best Novel)的殊榮,科幻迷也對於書中許多關於物理、數學、天文等題材感到如癡如醉。而故事中提到的一個外星文明「三體人」,他們居住的星球位在三個恆星的系統中,讓讀者們開始好奇三體問題(three-body problem)。三體問題來自於天文學,它不是單一的數學問題,而是泛指三個星體在重力影響下的運動行為研究,裡面牽涉到無數具體的數學問題,許多至今仍未完全解決。本文介紹幾個歷史上標誌性的進展,簡述這些關於三體問題的里程碑,以及對近代數學發展的影響。

牛頓力學與微積分

牛頓於1687年所發表的《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)裡提出萬有引力定律,說明質點間以反平方律(inversesquare law)沿著連線方向相互吸引,此定律是天體力學的基礎,用以建構各類多星體系統運動的數學模型。牛頓理論無論在數學還是物理的貢獻都是劃時代的。

牛頓把星體看成是空間中體積為零的質點,為了解釋此事,他證明了具備球對稱的星體,在星體外的重力場無異於把質量全集中於球心所得的重力場。對於學過微積分的人來說,這是一道利用球座標計算三重積分(triple integrals)的簡單習題,但在牛頓建立微積分理論之前卻是一大難題。微積分在數學、自然、人文科學的重要性眾所週知,不在此贅述。

成功的理論除了需要解釋既有的觀察,也需要能夠提出預測。一個著名實例是天文學家哈雷(Edmond Halley)利用牛頓理論計算行星對彗星的影響,在1705年正確預測了一顆彗星將在1758年底再次出現,後來該彗星以他命名。想像一下那個把彗星視為災禍的迷信年代,這是個多麼驚人的發現!當時一篇雜誌評論道出此事的巨大影響:「牛頓太陽系理論的真實性成為全世界的信念,天文學家的公信力得到充分建立與大幅提升……。」

自似週期解、穩定性與分歧理論

瑞士數學家歐拉(Leonhard Euler)與法國籍義大利裔數學家拉格朗日(Joseph Lagrange)分別於1762~1764年與1772年發現三類共線與兩類非共線的所有自似週期解(self similar solution or homographic solutions,〔註〕),並證明三體問題只有這五類自似週期解。

歐拉在研究太陽、地球、月球所構成的三星系統時,發現了這樣的特殊解,對此他寫下了一段很有意思的話:「若將月球與地球的距離放大4倍,我們所看見的月球便有可能是永恆的滿月。」換句話說,月球、太陽、地球在這樣的情況下可永遠保持相同的相對位置。大約半世紀後,法國數學家劉維爾(Joseph Liouville)發現這個特殊解其實是不穩定的,所以歐拉宣稱的解雖然理論上存在,但實際上無法實現。

註:自似週期解為形狀保持相似的週期解。

對此,很多人自然會質疑:「無法實現的解能有什麼重要性?」事實上,這些解的重要性遠遠超出20世紀之前人們的想像!若把月球換成人造飛行器,可以將其置於太陽地球間的適當位置,也就是歐拉的共線自似解之一;而置於太陽地球連線延伸的適當位置,可得到另一個歐拉的共線自似解。這兩處可利用重力平衡以幾乎零耗能的方式運作,是觀測太陽與架設太空望遠鏡的理想位置,現今已有多個觀測器被置於這兩個自似解附近,如國際彗星探測器(International Cometary Explorer)、太陽和太陽圈探測器(Solar and Heliospheric Observatory, SOHO)、赫歇爾太空望遠鏡(Herschel Space Observatory)等。……【更多內容請閱讀科學月刊第616期】