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近幾年來，紙吸管的使用量逐漸增多，但大家是不是常常覺得紙吸管很難插呢？其實紙吸管難插的原因主要不是因為比較軟，而是與圓錐截痕、三角函數有密切關係，而吸管截痕的投影竟然符合z =cos^-1x 函數。在了解這些原理後，也可以知道吸管以垂直杯口的方式插入最為省力。

近幾年國內環保意識抬頭，因為塑膠吸管不能回收，容易造成大量圾垃，所以環保署在去（2019）年7月起禁用一次性塑膠吸管，使得不少飲料店紛紛改用成本高出許多的紙吸管，咖啡廳、餐廳則是改用可重複清洗使用的金屬吸管。由於使用金屬吸管的店家通常都是以內用為主，直接將金屬吸管放入杯中，不用插，所以沒什麼太大的問題，但紙吸管就常常讓人覺得非常難用，甚至插到吸管爛掉還插不進去！到底為什麼紙吸管這麼難插？就讓我們先從這些年飲料封膜與吸管的演變開始說起。
 

臺灣飲料封口演化論

臺灣的街頭常常可以見到人手一杯手搖飲，珍珠奶茶更是紅遍全球；光是在筆者生活的臺北市公館一帶，就有三十幾家飲料店，非常恐怖。大約在二十幾年前，很多飲料店的包裝就像麥當勞飲料一樣，是紙杯蓋上個塑膠蓋，然後再插上「圓柱狀」的吸管來喝。

一直到1996年葉益芳先生發明了封口機後，方便的飲料封口機才慢慢走入生活，手搖飲也逐漸換成如今常見的封口杯樣式，即使隨意放置飲料也不會流出來，跟以前用塑膠杯蓋封口的方式相比，可說是方便了許多。而在全面換成封口杯之後，有一樣東西也跟著產生微妙變化，那就是吸管。

吸管的一端必須要是尖的才會好插

隨著飲料封口技術的進展，以前的圓柱狀吸管就非常難插入塑膠封膜中，想喝到飲料還必須將封膜撕開插入吸管才有辦法達成，喝有料的飲料又是另一件更加麻煩的事（只能用小湯匙挖珍珠來吃了），因此吸管也必須進行一番改革！那一根好用、好插的吸管又該怎麼設計？筆者前幾天買了一杯珍奶，結果插到吸管都爛了，還是插不進去，因此就一直在想到底為什麼吸管會這麼難插？想了許久，直到我發現原因，並寫完這篇文章，珍奶就這樣被我擱置在研究室的桌上，應該已經壞了。

高中的時候大家可能都學過二次曲線，雖然課程內容著重在代數上的運算，但大部份老師多少還是會提一下古典幾何中的圓錐截痕（或稱圓錐曲線），例如圖一展示出平面在雙圓錐上產生的各種截痕。而當雙圓錐退化成圓柱的時候，此時的截痕就會變成圖二的樣子，看起來是不是有點像一根吸管被切了一刀？

但先等等，仔細觀察一下手中的吸管，它真的是長這樣嗎？讀者們可以回想一下，如果吸管從側面看過去，長相會是下列哪一個圖？

答案是：D

什麼！！！怎麼跟圓錐截痕不一樣？這是因為……吸管就不是圓錐截痕啊！答案違背我們直覺的原因在於，當吸管用剪刀或裁刀裁切時，塑膠製的吸管必定會先被裁刀壓扁，然後再直直切過去，最後由於塑膠吸管的彈性，才會使吸管彈回來形成我們現在見到的空心柱體。

用數學來看吸管

假設剪裁前的吸管本身是半徑為1圓柱，將這根圓柱直立於xy平面，並利用參數式來描述吸管截痕曲線的話，此參數式為r(t)=〈cost, sint, z(t)〉。其中，t是繞圓的角度，而此時的觀察重點就在於高度z(t) 是多少了。若是圓柱截痕，截平面以45°切下去的話，就會是沿平面z=x來切，也就是z(t)=cost，所以從側面看過去的參數式就是r₁(t)=〈cost, sint, cost〉，當我們調整t的範圍，就可以畫出圖三的3D圖。

圖三：鐵吸管截痕
假設吸管圓柱的參數式為r(t)=〈cost, sint, z(t)〉。t是繞圓的角度，高度為z(t)；若圓柱截痕，以45°為截面切下去的話，相當於沿著平面z=x切，也就是z(t)=cost，因此從側面看過去的參數式就是r1 (t)=〈cost, sint, cost 〉，我們調整t的範圍，並以3D 圖表示。

但問題在於剪塑膠吸管時，吸管必定會先被剪刀壓扁，而後再沿z=x的平面剪過去，也就是z會隨著x等比例增加，然後吸管再彈回去。此時就好像將這張壓扁的紙貼在圓柱上，換句話說在固定一個高度z時吸管會回復至圓形的狀態，亦即圓參數式中的角度隨著z(t)=t 做變化，所以截面曲線就是r₂(t)=〈cost, sint, t〉。畫出的3D吸管如圖四。

此時從吸管的側面看過去，相當於圖形投影到xz 平面，即為z=cos-1x 的圖形（圖五a）；當然，吸管橫擺也可以說成z=cosx 或z=sinx 週期函數中的一部份（圖五b）。

圖五：從側面看吸管的函數圖形
如果我們將吸管投影到xz平面，即為z=cos-1x的圖形（a）；若將吸管橫擺也可以說成是z=cosx或z=sinx週期函數中的一
部份。

你知道大多數吸管是切幾度嗎？

解決了吸管切面的問題後，切吸管的角度也是一項關鍵。讀者不妨猜猜看吸管大多以幾度來切，難道是45°嗎？並不是哦，因為如果是切45°的話，最後會剩太多飲料吸不起來，一般切吸管時會沿斜率是3/5 ～ 1/2 之間來切，也就是在25°～ 40°之間。從圖六可以看出，若吸管切的斜率太陡，就會有比較多的飲料吸不起來。

那吸管又該怎麼插會最省力呢？我們將吸管直著擺，尖端從側面看時，斜率是無限大，所以插吸管時，應該要垂直插最省力。

紙吸管插不進去的關鍵

很多人將原因歸咎於紙製吸管比較軟，然而真相恐怕並非如此。紙浸了水後的確會變軟，但還沒插進杯裡的紙吸管其實是硬的，甚至比塑膠吸管硬多了！最主要的原因還是在於形狀，紙吸管的切面是橢圓，而不像塑膠吸管一樣有個尖尾。

為什麼紙吸管的切面是橢圓的？相較於塑膠，紙的彈性比較沒那麼大，被裁刀重重一壓就扁了，回復不了圓柱狀，除了造型不好看，壓扁的吸管恐怕也不是很好用。因此，紙吸管的生產過程是在不變形的情況下，將紙吸管鋸斷，或是使用雷射切割，故其截面為橢圓，因為沒有「尖端」，導致紙吸管非常難插。

既然這樣，那有沒有辦法把紙吸管切出cos-1x的曲線？也不是不行，但這樣切的話成本就提高了，而且還會切得很慢。在此筆者有個小建議，讀者以後拿到紙吸管時，先不要急著插，不妨用剪刀剪一下紙吸管尾端，就會好插很多；而使用紙吸管的飲料店，也可以在櫃台準備一把剪刀和方格紙，平時沒事剪剪吸管順便畫三角函數，要衛生一點的話也可以讓顧客自己剪，方便、省錢、環保還可以學數學，可說是一舉數得啊！

由於紙吸管的切面是橢圓，不像塑膠吸管一樣有個尖尾，紙吸管很容易插到爛掉都還插不進去。（作者提供）