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2020-10-01克卜勒結合數學與神學的宇宙模型
610 期
Author 作者
劉柏宏／國立勤益科技大學基礎通識教育中心。
16、17世紀時的歐洲科學家，除了對科學抱有理性的觀點，同時也需結合神學信仰。克卜勒以柏拉圖立體為發想推演出的行星運行模型，除了奠定了當代宇宙模型研究的根基，後續所發表的克卜勒三大行星運動定律，更對後人有著深遠的影響。
我展現了上帝在創造萬物與調和宇宙次序時，是根據自畢達哥拉斯和柏拉圖時代就已經知道的五個正多面體。祂按照多面體的尺寸、個數和比例，確立了星體位置和運行的關係。──克卜勒（Johannes Kepler）
人類對於太陽系正確的認識肇始於哥白尼寫的《天體運行論》（De revolutionibus orbium coelestium），史稱「哥白尼革命」。然而哥白尼雖然提出「地動說」以取代「地心說」，但對於太陽系行星運行的模式卻比托勒密系統高明不了多少，只不過天空中本輪（epicycle）與均輪（deferent）的圓圈數少了許多。而孔恩（Thomas Kuhn）也認為16、17世紀的天文學革命最重要的並不是《天體運行論》說了什麼，而是它對於後繼者的引發。
日耳曼天文學家克卜勒（Johannes Kepler）關於行星運動的解釋，可說是融合了神祕的信念和精彩的數學創意。例如當他得知伽利略（Galileo Galilei）於1610年發現木星有4顆衛星時，便做了一個有趣的猜想：由於地球有1顆衛星，而木星有4顆，因此介於地球與木星之間的火星應該有2 顆衛星，而最遠的土星可能是6顆或8顆衛星。至於離太陽最近的水星與金星應該和地球一樣各只有1顆衛星。也就是克卜勒猜測由六大行星的衛星個數所形成的數列可能是｛1,1,1,2,4,6｝或｛1,1,1,2,4,8｝，前一數列的後三項成等差，而後一數列的後三項成等比。沒想到克卜勒這種融合數學與神學的猜想，還不全然是無稽之談，火星確實有兩顆衛星。不過依據現代發現，水星和金星並沒有衛星，而木星和土星則擁有數十顆大小不一的衛星。
克卜勒行星模型背後的數學創意
克卜勒關於宇宙模型的最佳數學創意顯現在1596年出版的《宇宙的奧秘》（Mysterium Cosmographicum）一書當中。由於土星繞日週期為30年，而木星和土星大約每20年會合一次，兩行星在圓形的黃道線上約每經過240度將會合一次，因此克卜勒畫了一個圓內接三角形，頂點為兩星會合之處。如果我們再於三角形內畫一個內切圓（圖一），則這兩個同心圓的半徑比為2：1，非常接近當時已知土星和木星與太陽的平均距離比9：5 （表一）！
正三角形之內切圓與外接圓（圖一）
外圈為土星運行的軌道，內圈為木星運行的軌道，這兩個同心圓的半徑比為2：1，已經非常接近當時已知土星和木星與太陽的平均距離的比9：5。
以地球與太陽間之距離為1 個天文單位時，各行星與太陽的平均距離（表一）
這種巧合使克卜勒開始猜想「上帝是否以幾何圖形建構行星運轉的模型？」他緊接著在木星和火星之間置入一個正方形，木星與火星則分別在其外接圓與內切圓上運行。……【更多內容請閱讀科學月刊第610期】