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2020-08-01排隊也要有效率 排隊理論讓等待不再浪費時間
608 期
Author 作者
王家禮／美國加州柏克萊大學作業研究學系畢業後，任教於東華大學應用數學系至今。研究的興趣為應用機率與排隊理論。
時間就是金錢，別在排隊上虛度光陰了
據美國天美時公司（Timex）所做的一個調查，美國人一生中平均花費六個月的時間在排隊中等待，約合每年72小時。人生苦短，絕大多數的人都會覺得有比排隊更值得做的事，所以如何減少排隊的時間乃是現代人一項重要的生活技能。
個人如此，對製造業、通訊業和服務業來說更是如此。時效等同於競爭力，如何縮短生產流程、提高傳輸速度和加快服務時間，乃是商場上兵家必爭之地。因此，針對等候和排隊的研究從1950年代起蓬勃發展，這門學問為排隊模型與理論（Queueing Modeling and Theory）。相關的課程和研究者可在各大學應用數學、統計、工業工程、資訊科學和管理科系中找到。
縮短等候的時間可以從「感覺」著手，例如提供茶點給等候的顧客、在電梯等候區裝置穿衣鏡，或是顧客等候超過某一時間可以獲得補償等措施。這一方面的議題屬於市場學和經銷學，而排隊理論則是研究實質的等候時間。我們首先以一些實際的例子來介紹這門學問。
就是要公平！單一隊伍的排隊更有效率
夠年長的人應該都記得，以前到郵局、車站等處，每個櫃檯前都各自有一列等候的隊伍。曾幾何時，數個隊伍已被單一的隊伍或號碼牌所取代。這是因為排隊理論證明單一隊伍不但更有效率，顧客等候時間的差異性也較小，更重要的是能確保先到先服務（first-come-first-serve）。「等候時間差異性小」和「先到先服務」這兩個條件，對大多數人來說可能就代表公平。
較有效率的單一隊伍模式也能應用在客服電話系統上。以往大企業的每一個經銷處或是區域服務站都會提供客服或售票電話，現在則統一改成0800專線。如此一來，因減少客服人員的需求而省下的人事成本，扣除由顧客付電話費改成公司付費所增加的成本，都還綽綽有餘。
共享資源及優先次序的排隊方式
在日常生活中先到先服務似乎是唯一公平的排隊方式。但事實上，還有其他幾種常見的排隊方式也因地制宜地維護服務的公平性。舉例來說，所有需要經由電腦處理的工作都是以資源共享（processor sharing）的方式服務顧客，亦即同一時間在系統裡的所有顧客，不論先到後到，一律平分有限的服務資源。雖然此服務方式會在顧客越多時，每人接受到的服務速率越慢，但是該方式卻可以避免一個服務時間極長的顧客，例如永遠在迴路中打轉的程式，因長期獨占全部的服務資源，而阻擋其他所有的顧客。電腦運算、網路及無線通訊等皆是使用這種服務法。
另外一種常見的排隊方式是優先次序法（priority rule）。優先次序的給定會依照不同的條件進行調整，有的是依據服務價格，如郵件分平信與限時信；也有依據服務時間，如超市提供快速結帳台給少量採購的顧客；或是服務需求，如醫院的門診與急診室。該方法的公平性是建構在合理分配資源的概念。
上述的排隊方式也許不讓人感到意外，但是背後的分析可是建構在嚴謹的機率學與統計學。
規律化的排隊不再浪費時間
數學裡的單一排隊模型是由兩組隨機變數和相關的服務規定所組成。一組隨機變數代表顧客到達系統的間隔時間，另一組代表依序開始的服務時間。服務約定則包含服務員的個數、排隊的方式，以及系統容納顧客人數的上限等。
當然，延長顧客到達系統的間隔時間、縮短服務時間，或是增加服務員個數，都能減少需要等候的機會。然而，如果顧客到達的間隔時間與服務時間如同閱兵隊伍通過司令台般整齊劃一，就完全不會有等候的情況發生。換句話說，由於顧客的來源和對服務的需求都具有不確定性，這些不確定性會造成擁塞的情況，因而產生需要等候的可能。因此，研究排隊論的人需使用機率學來描述和了解擁塞發生的狀態。
從這裡可以理解：減少等候時間或隊伍長度的一個基本方法，就是儘量讓上述的時間長度規律化。具體例子是高速公路入口的匝道管制，在交通尖峰時段，匝道利用紅綠燈將進入高速公路的車流，改變成每個固定時段進入一批。雖然總流量不變，行車距離不變，但是車輛進入的間隔時間變規律了，路上擁塞情形就會有所改善。同理，製造業和服務業的流程標準化往往比加快流程速度，更能有效縮短顧客的等候時間，需要的成本也較少。
解決排隊問題的方法：耳朗公式與利特爾法則
研究排隊理論的先驅是20世紀初的丹麥數學家耳朗（Agner Krarup Erlang），他以社區的電話交換機為模型，制定了一個機率公式，後人稱之為耳朗公式（Erlang Formula），用於計算因所有交換機的線路都在使用而導致電話無法撥接的機率。……【更多內容請閱讀科學月刊第608期】