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2015-11-01線性代數以簡馭繁的威力 551 期

Author 作者吳汀菱/臺北市中山女高數學科教師。

站在手搖杯店前，工作人員正在忙碌，望向店中不同口味的茶桶，再看著眼前的menu，納悶著他們是怎麼用這寥寥數個口味的茶，調配出那麼多種產品呢？

數學家用質因數分解來表示正整數，任何一個正整數都有其唯一表示的質因數分解式。化學家列出了元素表，並發現了世界上每一種物質，都是由表中的某些元素以一定的比例組合而成。在高二上學期的平面向量單元中，課本提到，給定平面上兩個不平行的非零向量

與

，那麼這平面上的任一向量都可表示為

與

的線性組合。

上面的例子中，用線性代數的語言來看，所有的正整數、世界上的所有物質、平面上的所有向量，皆各自為一個向量空間（vector space）；而所有的質因數、元素表中的所有元素、平面上的

與

兩向量，就是向量空間中的基底（basis），任何一個空間向量中的元素都能表示為基底的線性組合。以基底的無窮多種不同線性組合來表達無窮多個元素，同時，每個元素也各自有一個獨特的表達方式。

線性組合的妙用

高二下所學的空間概念中有一個定理：

設直線L與平面E相交於A 點，若直線L與平面E上通過A點的兩相異直線L₁，L₂皆垂直，則平面上過A的任意直線皆與L垂直。即，直線L與平面E垂直。

大部分課本中僅以「因為兩相交直線可決定一平面，所以可得知」，這大約需8個步驟。

若使用向量的線性組合來證明這個定理其實非常簡潔。……【更多內容請閱讀科學月刊第551期】

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