- 專欄
文章專區
2015-12-01奇皇后分割
552 期
Author 作者
游森棚／任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。
前陣子電視上剛剛下檔了一齣不知所云的火紅韓劇《奇皇后》，講述高麗一位被進貢到中國元朝的女子奇氏，最後竟然成為元朝皇后的故事。說它不知所云，是因為劇情是架空想像的故事，與真實歷史相去甚遠。這個月的專欄我們也來不知所云（亂編故事一通）一下，介紹一個叫做「奇皇后分割」的問題。
解數專欄的讀者或許已經很清楚一個整數的「分割」的意思：就是把這個整數寫成由大排到小的一堆自然數的和。比如說4的分割有五種： 4，3+1，2+2，2+1+1，1+1+1+1。
取一個分割，在此分割中每群相同的數字中要指定一個人當「皇后」（物以類聚的一群囉嘍中總會有一個老大），這個就叫做一個「皇后分割」。比如說，現在4的皇后分割有十個（紅色代表皇后）：4，3+1，2+2，2+2，2+1+1，2+1+1，1+1+1+1，1+1+1+1，1+1+1+1，1+1 +1+1。
現在，我們只留下那些分割成奇數的皇后分割。這些就稱為「奇皇后分割」—比如4的奇皇后分割有五個：3+1，1 +1+1+1，1+1+1+1，1+1+1+1，1+1+1+1。
聰明的讀者現在可以暫停下來，試試看畫出5的奇皇后分割（共有八個），以及6的奇皇后分割（共有十二個）。
令an表示n的奇皇后分割，所以有a4=5，a5=8，a6=12等。事實上數列{an}n≥0=1，1，2，4，5，8，12，16，22，32，42，56，76，⋯也就是說數列{an}的生成函數是
A(q) = 1+q+2q2+4q3+5q4+8q5+12q6+16q7+22q8+⋯=.png)
。
第二個等號是嚴肅的數學研究得到的結果，來自分割專家安德魯斯（George E. Andrews，美國國家院士，前美國數學學會主席）等人的一篇學術論文。其中那些奇怪的符號的意思是(a; b)∞:= (1−a)(1−ab)(1−ab2)(1− ab3)⋯，比如(q; q)∞= (1−q)(1−q2)(1−q3)⋯。讀者先暫且不要理會第二個等號，寫在這裡是要說服讀者這問題是有點深度的。（:=符號的意思是「定義為」。）……【更多內容請閱讀科學月刊第552期】