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2020-03-01拆數解列─從等比數列談數字的韌性
603 期
Author 作者
林家妤 Shark Lin 因為數學成為斜槓青年，進行數 學藝術創作、策展、採訪、寫作 與創意教學，特別喜愛跨領域的題材與合作。
下面是一道1973年的數學挑戰題，讀者能看得出這串數列的下一項嗎？
679→378→168→48→32→？
給一個提示，答案是只有一位數字的正整數。
數字的韌性
這回數學專欄要來聊聊數字的韌性（persistence of a number）。數字的韌性指的是一種整數的特性：一個整數需要進行幾次運算以後，會達到一個固定的位置或數值，也就是收斂到某處而不再變動。聽起來有點抽象，想像如果每個數字都是一隻寶可夢，要丟出幾次寶貝球才能收服這個數字，讓它乖乖進入寶貝球中不再跑來跑去，這就是數字的韌性。讓我們回到一開始的數列：
679→378→168→48→32→？
這道題目的歷史已長達40多年，聰明的你 ∕ 妳看出答案是6了嗎？這數列的後一項是前一項每一個位數的乘積。 第一項是679，第二項是6×7×9 得到378，第三項則是將3×7×8得到168，第四項以此類推得到48，第五項32則是4×8，最後再把3乘上2得到第六項的值為6。
以上的運算過程就是數字的乘法韌性（multiplicative persistence），藉由每一個位數的相乘運算使得運算之後數字變小，最後達到一個固定的數值。679經過了5次運算之後才收斂至一個最終的數字，因此679的乘法韌性是5；原本就只有一個位數的數字如1至9，不需經過運算其值亦不變，其乘法韌性是0。
數學家對於特定韌性的最小數字（smallest numbers of a given persistence）感到十分有興趣，也將乘法韌性的最小數字形成數列收錄在整數數列線上大全（The OnLine Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS）。在《科學月刊》601期曾經介紹過OEIS，只要在該網站的搜尋欄鍵入一串數列，OEIS就會跳出這可能是哪一段數列與其介紹，功能非常強大。
創立此網站的斯洛恩（Neil Sloane）被認為是在世的數學家之中最有影響力的一位，同時他也是本文一開始的數學挑戰題作者，研究過數字的韌性。而乘法韌性的最小數字形成的A003001數列如下表，是OEIS中的3001號數列： 目前已知在10233之內的正整數，乘法韌性都不會超過11。
話說回來，為什麼數學家只探討數字韌性的最小數字呢？
這是因為「最小」本身可以做為一種門檻，要大於這個數字韌性才可能增加；另一方面，如果一個數字後面補上很多1，數值就可以變得很大，對於韌性卻沒有影響； 若是補上0，運算後數字也會馬上收斂變成0，韌性只有一次。
位數根與加法韌性
數字的韌性除了乘法韌性之外，還有加法韌性（additive persistence）。類似乘法韌性的運算，加法韌性即是把一個整數的每一個位數相加，直到加到1~9之間的數字所需要的次數；而最後得到介於1~9之間的數字，即為該數字的位數根（digital root）。
每一個自然數的位數根計算過程中需相加的次數並不多，以D(n)代表n的位數根運算：
D(23579982)
=D(2+3+5+7+9+9+8+2)
=D(45)=D(4+5)=D(9)=9
23579982經過2次相加的運算過程，數值就不會再變動，其加法韌性為2；如果是1~9這9個數字不需要經過計算就可以得到位數根的數字，其加法韌性為0。
為什麼有些數字只要加1次就可以得到位數根，又為什麼有些數字要加2次甚至更多，其中有沒有什麼規律或規則呢？就像前面的乘法韌性，數學家也想要找出各階加法韌性的最小數字。現在，就讓我們一起來找找看吧！
首先觀察一下1到100之間的加法韌性，整理如下表：
由上面的結果可以發現數字的大小和加法韌性沒有關係，比最小數字An還小的數字，其加法韌性一定小於n，例如小於19 的數字，加法韌性不是0就是1。說不定，還可以藉由加法韌性n的最小數字An，找出下一個加法韌性n+1對應的An+1。
在此，就來思考一下位數根的性質，一個正整數可以寫成其位數根加上9的倍數，因此把10拆解成1加上9，而19則可拆解成10加上9，寫成數學式如下：
10=1+9
19=10+9
發現19進行一次位數根運算後為10，將10再進行一次運算後會得到1，這兩個數字的位數根都是1。從這個簡單的事實觀察出一件有趣的現象：如果可以找出位數根運算一次後為1（A0，加法韌性為0的最小數字）之中的最小數字，即可找到A1，也就是10；而同理，試著找出運算一次後為10的最小數字，那麼就可以得到19為A2，也就是加法韌性為2的最小數字。
那麼，下一個目標是什麼呢？只要找出進行位數根運算一次後是19的數字，就可以得到A3。到底什麼數字加一次之後會得到19呢，它不是那麼容易想出來，答案是199！同樣的道理，下一步是找到一個數字加一次之後是199，那麼就能夠找到A4。
隱隱約約感覺到背後似乎有數學規則存在，但要馬上找到通式卻不容易，所以在此先公布加法韌性的最小數字，正在認真讀這篇文章的你∕妳，可以先觀察下表有什麼規律，最好拿起筆和計算紙來思考，下一節將一步步以代數解析其規律，還會出現意想不到的公式。
加法韌性n與最小數字An
要找出一個整數進行位數根運算後會變成另外一個整數，可以從位數根的性質開始思考，在此整數的最後一位添加數字9，其位數根不變，然而值會增大不少，用此方法可找出下一個加法韌性的最小數字。
如A2為19可寫成19=9×2+1，表示19可由2個9與1個1組合而成，這3個數字重組後所得出的最小數字為199，也就是A3。同理，199=9×22+1，將1放到22個9的前面，就可以得出總共有23位數的A4。
就這樣便能夠由A0，也就是1開始，以拆解數字的方式，一項一項推算出下一個加法韌性中的最小數字！
1 → 10 → 19 → 199 → 19999999999999999999999 →…
1÷9=0…1，商數0代表0個9（此時需補0），餘數1代表1放到最前面的位數就可以得到10，也就是A1。
再以此類推將10除以9，得到10÷9=1…1，商數1代表1個9，餘數1代表1放到最前面的位數得到19，表示19為加法韌性2中最小的數，A2。
以上規律收錄在OEIS中的A006050數列，如下表：其中加法韌性5的最小數字A5可用2×102222222222222222222222-1表示。顯然這已經是天文數字，下一項很難用這樣的方式表示，是否還有其他較簡潔的表達方式呢？
用等比級數和公式推導出簡潔漂亮的遞迴式前面的推導過程即使直覺卻不免有些繁瑣，可換另一種表示方法更容易看出其中的規律性。以下的方法同樣運用了觀察，再加上意想不到的等比級數和公式，最終推導出加法韌性最小數字的遞迴關係式。
從前文與上面兩個範例，發現An可以寫成：
An=9×Q（An）+1
An為某加法韌性的最小數字，Q（An）為此最小數字除以9的商，n是加法韌性的次數，也就是式子的第幾項。
在範例2裡面n為3，A3=199，而Q（A3）= 22。
接下來來看範例3，加法韌性4的最小數字A4：
加法韌性4的最小數字A4可以表示成2乘上10的22次方後再減去1，這個22便是加法韌性3的最小數字199除以9的商數Q（A3）。
接下來進入關鍵的地方，把原本的An=9×Q（An）+1裡面的n變成n+1後得到eq. 1，再把剛剛在等比級數公式得到的寫成eq. 2如下：
An+1=9×Q（An+1）+1………………… eq. 1
An+1=2×10Q（An）-1………………… eq. 2
上方兩式聯立得出遞迴式1
Q（An+1）=2（10Q（An）-1）/9
也可以寫成遞迴式2
An+1=2×10（An-1）/9-1
其中An為加法韌性n的最小數字，Q（An）為此最小數字除以9的商，上述兩式適用於n大於0的情況下，也就是n從1開始。
在遞迴式1帶入Q(A1) 的值1便可以求得Q(A2) 為2，乘上9之後再加1便可反推A2是19，Q(A3) 與A3以此類推；同樣地，在遞迴式2帶入A1這一項的值10便可以求得A2的值19。
在這裡的遞迴式型式並沒有那麼常見，而且遞迴的部份出現在次方，因此數值的增加幅度是比指數函數還要更快！另外可注意的是加法韌性1的最小數字10是個特例，無法用2（10Q（An）-1） 表示，但A1這一項仍是不可缺少的，而且也可用1「拆解」得到。
數學觀察趣
沒想到只是運用了觀察，便發現加法韌性的最小數字可以用兩種不同的方式表達，再加上熟悉的等比級數和公式，用高中數學就能夠推導出數學家發現的遞迴式，解開加法韌性的最小數字之間的關聯。
有時候，解開未知的數學題比想像中還來得簡單。
延伸閱讀
1. Sloane, N. J. A., The Persistence of a Number, J. Recreational Math., Vol.6: 97-98, 1973.
2. Carmody, P., OEIS A003001, and a 'Zero-Length Message', 2001.
3. Hindin, H. J., The additive persistence of a number, J. Recreational Math., Vol.7: 134-135, 1974.