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2020-03-01拆數解列─從等比數列談數字的韌性 603 期

Author 作者 林家妤 Shark Lin 因為數學成為斜槓青年,進行數 學藝術創作、策展、採訪、寫作 與創意教學,特別喜愛跨領域的題材與合作。
下面是一道1973年的數學挑戰題,讀者能看得出這串數列的下一項嗎?

679→378→168→48→32→?

給一個提示,答案是只有一位數字的正整數。

數字的韌性

這回數學專欄要來聊聊數字的韌性(persistence of a number)。數字的韌性指的是一種整數的特性:一個整數需要進行幾次運算以後,會達到一個固定的位置或數值,也就是收斂到某處而不再變動。聽起來有點抽象,想像如果每個數字都是一隻寶可夢,要丟出幾次寶貝球才能收服這個數字,讓它乖乖進入寶貝球中不再跑來跑去,這就是數字的韌性。讓我們回到一開始的數列:

679→378→168→48→32→?

這道題目的歷史已長達40多年,聰明的你 ∕ 妳看出答案是6了嗎?這數列的後一項是前一項每一個位數的乘積。 第一項是679,第二項是6×7×9 得到378,第三項則是將3×7×8得到168,第四項以此類推得到48,第五項32則是4×8,最後再把3乘上2得到第六項的值為6。


以上的運算過程就是數字的乘法韌性(multiplicative persistence),藉由每一個位數的相乘運算使得運算之後數字變小,最後達到一個固定的數值。679經過了5次運算之後才收斂至一個最終的數字,因此679的乘法韌性是5;原本就只有一個位數的數字如1至9,不需經過運算其值亦不變,其乘法韌性是0。

數學家對於特定韌性的最小數字(smallest numbers of a given persistence)感到十分有興趣,也將乘法韌性的最小數字形成數列收錄在整數數列線上大全(The OnLine Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS)。在《科學月刊》601期曾經介紹過OEIS,只要在該網站的搜尋欄鍵入一串數列,OEIS就會跳出這可能是哪一段數列與其介紹,功能非常強大。

創立此網站的斯洛恩(Neil Sloane)被認為是在世的數學家之中最有影響力的一位,同時他也是本文一開始的數學挑戰題作者,研究過數字的韌性。而乘法韌性的最小數字形成的A003001數列如下表,是OEIS中的3001號數列: 目前已知在10233之內的正整數,乘法韌性都不會超過11。


話說回來,為什麼數學家只探討數字韌性的最小數字呢?

這是因為「最小」本身可以做為一種門檻,要大於這個數字韌性才可能增加;另一方面,如果一個數字後面補上很多1,數值就可以變得很大,對於韌性卻沒有影響; 若是補上0,運算後數字也會馬上收斂變成0,韌性只有一次。

 

位數根與加法韌性

數字的韌性除了乘法韌性之外,還有加法韌性(additive persistence)。類似乘法韌性的運算,加法韌性即是把一個整數的每一個位數相加,直到加到1~9之間的數字所需要的次數;而最後得到介於1~9之間的數字,即為該數字的位數根(digital root)。

每一個自然數的位數根計算過程中需相加的次數並不多,以 D(n)代表n的位數根運算:

D(23579982)
=D(2+3+5+7+9+9+8+2)
=D(45)=D(4+5)=D(9)=9


23579982經過2次相加的運算過程,數值就不會再變動,其加法韌性為2;如果是1~9這9個數字不需要經過計算就可以得到位數根的數字,其加法韌性為0。

為什麼有些數字只要加1次就可以得到位數根,又為什麼有些數字要加2次甚至更多,其中有沒有什麼規律或規則呢?就像前面的乘法韌性,數學家也想要找出各階加法韌性的最小數字。現在,就讓我們一起來找找看吧!
……【更多內容請閱讀科學月刊第603期】