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2018-11-01海德堡論壇、阿蒂亞與黎曼猜想 587 期

Author 作者 游森棚/任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。
上(9)月,在網路上最火紅的數學消息是數學家阿蒂亞 (Michael Atiyah)宣稱他證明了黎曼猜想。

海德堡桂冠論壇


讓我們從海德堡桂冠論壇(Heidelberg Laureate Forum) 說起。

德國最古老的大學──海德堡大學,創設於神聖羅馬帝國 時代的1386年。海德堡雖是一個規模不大的大學城,卻一直是夙負盛名的學術重鎮。根據統計,截至去(2017) 年底為止已有27位諾貝爾獎得主曾於此求學或研究,這個比例令人咋舌。

諾貝爾獎沒有數學獎,也沒有電腦科學獎,但是沒有人 能夠否定這2 個學門的重要性,於是數學有了費爾茲獎 (Fields Medal)與阿貝爾獎(Abel Prize), 而電腦科學 有了圖靈獎(Turing Award)。

諾貝爾獎有個歷史悠久的林道桂冠論壇(Lindau Nobel Laureate), 從 1950 年起,年年在德國林道舉辦。這個 論壇每年邀請數位諾貝爾獎得主與數百個年輕研究人員直接對話,對於在科學路上剛起步的年輕學者,這是非常大的激勵。

但是,數學和電腦科學就是一直跟諾貝爾獎無關啊!因 此,經由一些機構的倡議,終於在2013年9月底,海德 堡桂冠論壇開辦。第一屆邀請了7位費爾茲獎與阿貝爾獎 得主與 27 位圖靈獎得主,加上200多名世界各地的年輕 研究人員,自此之後年年開辦至今。

能夠被邀請去海德堡桂冠論壇演講的,都已經是數學或電腦科學領域的超級大師,學術地位無庸置疑。他們的演講通常也都不談細節,而是一個領域重要問題或是大方向。

這個論壇雖然是數學與電腦科學界的年度盛事之一,但 是,圈外人基本上是完全沒聽過的。然而,今(2018) 年卻因為數學家阿蒂亞的大膽宣言,海德堡論壇突然知 名度大增。阿蒂亞公布的演講題目是「黎曼猜想(The Riemann Hypothesis)」,接著在演講公告的摘要裡寫 著,他用了「根本全新(radical)」的方法證明了黎曼猜想。

黎曼 ζ 函數與黎曼猜想


如果對數學家做問卷調查,當今最重要的數學猜想是什麼?黎曼猜想鐵定會得到多數的票數。

概念上要理解這個猜想非常容易。首先把-2代進去函數f (x)=x2+3x+2會等於零,則-2就是函數f(x)的零點。 黎曼(Bernhard Riemann,1826~1866)提出的猜想就 是在猜「哪些值」代進去一個特別的函數(現在稱為黎曼 ζ 函數,記為 ζ(s))後會等於零,如此而已。

函數 ζ(s)的概念也是容易理解的。在微積分中,會學到 歐拉(Leonhard Euler,1707~1783)神奇的平方數倒數和:
把「次方」改成變數,就是黎曼 ζ 函數:
首先研究這個函數的是歐拉。他發現了ζ(s)與質數的漂亮 聯繫(也因此,此函數在數論的研究中扮演了重要的角色):

歐拉的時代,數學概念的嚴密性還沒有完整建立起來。因此,歐拉常常用一些飛躍的想法,先得出一些有意思的結 果,後人才慢慢補全這些跳躍的思考,ζ 函數就是一個例 子。......【更多內容請閱讀科學月刊第587期】