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2019-01-01來自半世紀前的 數學預言 589 期

Author 作者 劉柏宏/勤益科技大學基礎通識教育中心教授。
半世紀前,《科學月刊》創刊號收錄王九逵教授〈數學探津兼論數學的形式主義〉一文(以下簡稱探津),是本刊物的第一篇科普文章,有其歷史意義。該文一開始便以反喻的方式奉勸哲學家、科學家和文學家們不要閱讀本文,這和達文西曾言:「如果你不是數學家,不要讀我的著作。」一樣吊足讀者胃口,引人好奇。透過這段楔子,王教授實際上是開宗明義指出,數學不僅是科學,更是哲學和文學。文章千古事,歷經半世紀之後拜讀這篇文章,不得不佩服王教授的前瞻慧眼。為何這麼說呢?且請讀者繼續看下去。

問題是數學的靈魂

王教授認為「問題是數學的靈魂」, 這觀點不僅比已故的哈默斯(Paul Halmos)所說「問題是數學的心臟」還要早10 年提出,而且更居上位。 1900 年希爾伯特(David Hilbert) 在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會 中提出23 個待解的指標性問題,簡 稱希爾伯特問題。經過1世紀後,克 雷數學研究所(Clay Mathematics Institute, CMI)一樣選在巴黎宣布 21世紀需要解決的7大數學難題,並 為每個問題提供100萬美元的破解獎 金,稱為千禧大獎難題(Millennium Prize Problems)。目前,希爾伯特 問題已有8 個被解決,千禧大獎難 題中的黎曼猜想也已被破解,這些都標誌著數學的重大進展,因此不管是「靈魂說」還是「心臟說」,問題為數學前進的驅動力這點是毋庸置疑 的。而王教授在文章中挑出4個當時 尚未解決的知名數學問題:費馬最後問題、孿生質數問題、哥德巴赫猜想和四色問題做闡述,讓讀者了解他的說法。文中並沒有說明此4項是如何 在諸多待解問題中選擇,不過,歷經 50 年後4 個問題至今都已經獲得重 大進展,甚至已經解決。

哥德巴赫猜想已長懸276年, 最接近的成果是1973 年由陳景潤提 出的「任1個夠大的偶數都可以表示 成2個質數的和,或表示成1個質數 及1個不超過2個質數乘積值的和」。 1976 年阿佩爾(Kenneth Appel) 和哈肯(Wolfgang Haken)提出四色問題的電腦版本證明。即使尚缺乏數學演繹式證明,但四色定理
已獲學界廣泛認可。費馬最後問題已於1995 年被懷爾斯(Andrew Wiles)扶正為費馬最後定理。至於孿 生質數問題則於2013年被張 益唐所證明的結果:「 差距小於7000 萬的質數數對有無限多組」逼近一大步,目前最新的結果是:「差距小於 246 的質數數對有無限多組」。誠如 探津一文所說:「 源源而來的新問題,維持了數學的生機與發展,使數學永保茁壯。」更重要的是,雖然有些問題還沒有解決,但其過程「比問題的解決,恐怕還要有意義」。

數學的主義、本質和教育

王教授在文章後段談到數學形式主義的缺失,並論及對數學教育的影響。關心數學本質和數學基礎的數學家或哲學家,一直致力於將整個數學知識收納於一套遵守一致性準則的體系之中。......【更多內容請閱讀科學月刊第589期】