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2019-01-01浪子回頭與不歸路
589 期
Author 作者
游森棚／任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。
在這2星期的研究所組合學課堂上，我介紹了一些古典機率論中可以用組合方法處理的經典結果。這些定理相當有趣，同學反應熱烈，他們興奮情緒也感染了我，因此打鐵趁熱，在此與讀者分享。
青蛙左右跳
有一隻青蛙從原點開始，每一步往左或往右跳一單位，機率各是1 ∕ 2。讀者先猜一猜，青蛙能跳到往左100單位遠或往右100單位遠的機率是多少？
答案是1，不僅如此，事實上不管一開始指定的終點（整數 m 或 –m）離原點多遠，青蛙能跳到±m 的機率就是 1。換句話說，青蛙一開始在地球上，每次向左或向右跳一步，只要給牠夠久的時間，則牠一定可以跳出太陽系！這真是令人驚異的結果。甚至我們還可以證明，從原點要跳到 ±m，「平均」需要m2 步（數學的說法是跳到 ±m所需步數的期望值是m2）。
醉漢回家
青蛙跳的另一個常見的說法是醉漢回家。酒吧位於數線 上的一個整數點，從酒吧走出1位醉漢，他家在數線上的另一整數點。醉醺醺的他每一步都踉蹌往左往右，機率各是1∕2。那麼，由青蛙跳的結果告訴我們：若把酒吧當原點，家當作m，醉漢一定回得了家。學生笑說，那這樣喝得再怎麼茫都沒關係了。是的，而且更有趣的是，既然回到家的機率是1，一旦回到家後，把家當作新的原點，再套一次青蛙跳的結論，那醉漢再晃回酒吧的機率也是1。以此類推，這個醉漢會到家無限多次，也會再回到酒吧無限多次──果真是本性難移。
關心數學教育的臺灣師生大概都知道波利亞（George Polya），主要是他對數學教育與數學發現的過程有一套影響深遠的理論。但大多數人不知道的是，波利亞是一個非常好的數學家，在機率論中他做出了不少開創的結果。我們現在知道從原點出發的青蛙（或醉漢），不僅可以想走多遠就走多遠，而且還會走回原點無限多次，但這一切都基於每一步向左向右都是1 ∕ 2的假設。如果往兩邊的機率不一樣呢？結論就完全不同了。波利亞證明只要每一步固定往某一邊的機率比1∕2 大一點點，則青蛙或醉漢只會在有限多次回到原點。
十賭九輸
青蛙跳的進階形式是賭徒破產問題。1個賭徒拿著100萬元進賭場，假設每局1萬元，而且這個賭場非常公正， 每一局讓你贏或輸的機率是1 ∕ 2。則我們把100萬元當作原點，輸光當作m。青蛙跳的結果告訴我們，賭博輸光的機率是1。這真是一個非常哲學性和富有教育性的結果──不只是十賭九輸，根本是十賭十輸。
但現實上，上述假設不合常理。首先，賭徒的心態通常是撈一票就走人，這樣看來還是有機會贏錢──畢竟青蛙往另一邊走到m的機率也是1，只要過程中不要輸光，都還是有機會。更關鍵的是，賭場不可能讓玩家每把獲勝的機率是1 ∕ 2，一定會比1 ∕ 2少，否則賭場賺什麼呢？ 好吧，如果每一局獲勝機率是p，一個賭徒拿了a元的本錢進賭場，心裡想著只要贏到b元（b＞a）就走人。而且他賭性堅強，除非輸光無法再押，否則不到目標絕不甘休。那麼，這個賭徒贏到b元的機率是多少？答案是
來看個例子讓大家體會一下這個結果。拉斯維加斯賭場的美式輪盤共有38個數，1~36號之中一半（18個）是紅色，另一半是黑色。另外有0號及00號是綠色......【更多內容請閱讀科學月刊第589期】