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2019-01-01浪子回頭與不歸路 589 期

Author 作者 游森棚/任教於臺灣師範大學數 學系及空軍官校。
在這2 星期的研究所組合學課堂上,我介紹了一些古典 機率論中可以用組合方法處理的經典結果。這些定理相當有趣,同學反應熱烈,他們興奮情緒也感染了我,因此打鐵趁熱,在此與讀者分享。
 

青蛙左右跳

有一隻青蛙從原點開始,每一步往左或往右跳一單位, 機率各是1∕2。讀者先猜一猜,青蛙能跳到往左100單 位遠或往右100單位遠的機率是多少?

答案是1,不僅如此,事實上不管一開始指定的終點(整數 m 或 –m)離原點多遠,青蛙能跳到±m 的機率就是 1。換句話說,青蛙一開始在地球上,每次向左或向右跳一步,只要給牠夠久的時間,則牠一定可以跳出太陽系!這真是令人驚異的結果。甚至我們還可以證明,從原點要跳到 ±m,「平均」需要m2 步(數學的說法是跳 到 ±m所需步數的期望值是m2)。

 

醉漢回家

青蛙跳的另一個常見的說法是醉漢回家。酒吧位於數線 上的一個整數點,從酒吧走出1 位醉漢,他家在數線上 的另一整數點。醉醺醺的他每一步都踉蹌往左往右,機 率各是1∕2。那麼,由青蛙跳的結果告訴我們:若把酒 吧當原點,家當作m,醉漢一定回得了家。學生笑說,那這樣喝得再怎麼茫都沒關係了。是的,而 且更有趣的是,既然回到家的機率是1,一旦回到家後, 把家當作新的原點,再套一次青蛙跳的結論,那醉漢再晃回酒吧的機率也是1。以此類推,這個醉漢會到家無限 多次,也會再回到酒吧無限多次──果真是本性難移。

關心數學教育的臺灣師生大概都知道波利亞(George Polya), 主要是他對數學教育與數學發現的過程有一套 影響深遠的理論。但大多數人不知道的是,波利亞是一個非常好的數學家,在機率論中他做出了不少開創的結果。我們現在知道從原點出發的青蛙(或醉漢), 不僅可以想走多遠就走多遠,而且還會走回原點無限多次, 但這一切都基於每一步向左向右都是1∕2 的假設。如果 往兩邊的機率不一樣呢?結論就完全不同了。波利亞證 明只要每一步固定往某一邊的機率比 1∕2 大一點點,則 青蛙或醉漢只會在有限多次回到原點。

 

十賭九輸

青蛙跳的進階形式是賭徒破產問題。1 個賭徒拿著100 萬元進賭場,假設每局1萬元,而且這個賭場非常公正, 每一局讓你贏或輸的機率是1∕2。則我們把100萬元當 作原點,輸光當作m。青蛙跳的結果告訴我們,賭博輸 光的機率是1。這真是一個非常哲學性和富有教育性的 結果──不只是十賭九輸,根本是十賭十輸。

但現實上,上述假設不合常理。首先,賭徒的心態通常是撈一票就走人,這樣看來還是有機會贏錢──畢竟青 蛙往另一邊走到m的機率也是1,只要過程中不要輸光, 都還是有機會。更關鍵的是,賭場不可能讓玩家每把獲 勝的機率是1∕2,一定會比1∕2少,否則賭場賺什麼呢? 好吧,如果每一局獲勝機率是p,一個賭徒拿了a元的本錢進賭場,心裡想著只要贏到b元(b>a)就走人。而 且他賭性堅強,除非輸光無法再押,否則不到目標絕不 甘休。那麼,這個賭徒贏到 b元的機率是多少?答案是

 

 
來看個例子讓大家體會一下這個結果。拉斯維加斯賭場 的美式輪盤共有38個數,1~36號之中一半(18個)是紅色,另一半是黑色。另外有0 號及00 號是綠色......【更多內容請閱讀科學月刊第589期】