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2019-11-01從《幾何原本》到九種幾何 599 期

Author 作者 游森棚/任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。
這學期筆者開設了「數學資優教育」課程,修課的同學皆為有志於此的未來老師,亦有多位已在各校資優班任教的教師。最近,談到平面幾何,透過師生共同討論,釐清了很多關於幾何數學史的模糊印象,藉此專欄與讀者分享。

歐幾里德與《幾何原本》

平面幾何推論的迷人之處,在於體現了「數學」這門學問最重要的精神:在證明一個命題時,每一步的推導都是有根有據。換句話說,任何數學結果,都是從最一開始的幾個定義與公設按照邏輯推演出來的,也就是所謂公理化的數學。
 
這是劃時代的偉大思想,也是古希臘人對科學最偉大的貢獻,早先的巴比倫與埃及的幾何知識(計算面積、長度等)更都是從實驗觀察歸納而來。希臘人承襲了這些數學知識,卻摒棄實驗歸納而採用推理演繹,這個劇烈的轉變筆者至今仍覺神祕不已。總之,希臘人歷經三百年發展出公理化幾何學,終在歐幾里德(Euclid)劃時代的著作《幾何原本》(Elements)集大成。
 
不可思議的是,直到現在人們對歐幾里德的生平所知仍接近空白,甚至有些學者懷疑根本沒這個人。但《幾何原本》是真實存在的書,共有13卷,前六卷討論平面幾何,後幾卷討論數論等其他領域。世人的焦點多放在前六卷,也就是公理化的平面幾何學。
 
在第一卷的一開頭,歐幾里德首先提出23個定義(點、線、面和圓等),然後提出五個放諸四海皆準(不限幾何)的公理,如其中一個是:「兩相等的量加上相等的量,其和相等」。即「等量加法原理」:若a=b,則a+c=b+c。接著,就是大名鼎鼎的五個幾何公設:
 
1.(第一公設)從任一點到另一點可畫一條直線。
2.(第二公設)直線可以向兩端無限延伸。
3.(第三公設)任給一圓心及半徑可以作一圓。
4.(第四公設)直角皆相等。
5.(第五公設)兩直線被另一線所截,且某一側之同側
內角和小於兩個直角,則此兩直線無限延伸必在此側相交。......【更多內容請閱讀科學月刊第599期】