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2019-10-01磁力線到規範場-從廣義相對論到規範對稱談場論發展 598 期

Author 作者 張峻輔/清華大學高能理論物理博士、高雄中學物理科教師,開設《夸克、黑洞、相對論》課程,講授粒子物理學與相對論。

愛因斯坦的重力場

在狹義相對論之前,物理學家研究自然的方法是先操作實驗,而後將觀測結果歸納成經驗公式,再從方程式中發掘自然隱藏的對稱性,例如電磁現象中的勞倫茲協變性(圖一)。對稱性之於物理定律的發現無關緊要,僅是潛藏於方程式之中的美感,有最好,沒有的話也無損於對自然偉大設計的讚嘆。然而透過愛因斯坦與閔可夫斯基(Hermann Minkowski)在狹義相對論的工作中,物理學家首次發現研究自然的手法可以把圖一的順序倒轉,如果能掌握自然設計中底層的對稱性,原則上可由此定義出基本方程式的形式,再根據方程式搜尋尚未發現的現象,如同若事先知曉電磁學定律必須滿足勞倫茲協變性,在很大程度上可由此推導出馬克士威方程式一樣,當然難度是相當的高。
 
  圖一:電磁學的實驗結果被歸結成物理定律,表達定律的方程式顯現自然設計中隱藏的對稱性。

 
此倒轉研究手法知易行難,因為基本上不可能事先知道大自然選取何種對稱性決定方程式的樣貌,理論學家只能先猜測大自然偏好何種對稱美,寫下對應的方程式,並且寄望實驗學家日後能找到預測的現象;其中,愛因斯坦猜測大自然審美觀的能力被公認為第一把交椅,也是成功執行此倒轉研究手法的先驅。如前所述,狹義相對性原理只要求物理定律在慣性坐標系間的勞倫茲變換下維持不變,對此不甚滿意的愛因斯坦從1907年開始,試圖將該原理的適用對象從慣性系推廣至任意坐標系,稱為廣義相對性原理〔註一〕。透過這樣的推廣作出發點,盼能發現嶄新的物理定律,廣義協變原理加上「物質的重力質量等於其慣性質量」的等效原理,最終指引出一個全新的重力理論,即廣義相對論(圖二)。
 

圖二:愛因斯坦猜測自然設計具有廣義協變的對稱性,據此推導出重力場方程式,再從中預測尚未發現的現象。

從圖一與二可看出愛因斯坦創建廣義相對論的歷程完全不同於狹義相對論。在狹義相對論之前,電磁學的實驗事實早已擺在眼前,馬克士威也整理出相應的方程式,只待明眼人指出其中隱藏的時空對稱性;然而廣義相對論完全是由相信自然須滿足廣義協變原理出發,憑藉數學推導找出基本方程式,再指引實驗學家尋找對應的現象,此研究方法必須對自然的對稱美具有卓越洞察力才能成功。
 
其實自從倒轉研究得到廣義相對論後,愛因斯坦對物理學的研究想法也與之前大相逕庭,他越來越仰賴數學邏輯的引導,日漸拋棄他從實際現象汲取經驗法則的習慣,希望能再次複製廣義相對論的成功經驗於統一場論的工作,他在晚年撰寫的《自傳筆記》(Autobiographical notes)中說道:「一旦有了足夠強的數學條件,不用太多的經驗知識就足以建立起一項理論。」雖有不少物理學家對此番說法不表認同,但此話的確是圖二的最佳註腳。

魏爾的規範場

其實不論是勞倫茲協變性或是廣義協變性,均屬於一種時空對稱性(spacetime symmetry),要求物理規律在時空坐標的變換下維持不變,然而自然界尚有一種潛藏的更加抽象的對稱性,稱為內稟對稱性(internal symmetry),率先發現內稟對稱之美的是與愛因斯坦友好的德國數學家魏爾(HermannWeyl,圖三)。魏爾醉心廣義相對論中關於方程式在任意坐標變換下仍維持不變的對稱美,致力於將馬克士威電磁學與愛因斯坦的廣義相對論熔為一爐,試圖建構一個整合電磁力與重力的統一場論,1918年他率先引入一種稱為「尺度不變性(eichinvarianz)」〔註二〕的對稱性。
 

圖三:規範場的創建者魏爾。

(ETH Zürich, CC BY-SA 3.0, Wikipedia)



首先想像一個向量在平面上作平行移動,無論過程中該向量走哪條路徑,當其平移到同一終點時,總會與原向量指向同一個方向,然而若改為在曲面中平移向量,當走不同路徑抵達同一終點時,原向量往往會指向不同的方向,而這正是彎曲空間的特性(圖四)。

 

圖四:圖上的黑色向量循著兩條不同的曲線作平行移動到同一點,過程分別以藍色箭頭與紅色箭頭表示,一開始雖同為黑色向量,但到達終點後,紅、藍兩箭頭指向卻不再一致, 此乃空間曲率不為零的表徵。



......【更多內容請閱讀科學月刊第598期】

 

〔註一〕廣義相對性原理為物理定律在任何坐標系變換下應維持相同之數學形式,其對應的方程式必須滿足廣義協變性(general covariance)。

〔註二〕eich invarianz是魏爾原始論文使用的德文單字。