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2019-02-01五次通解惹斷腸─ 阿貝爾的方程解之憾 590 期

Author 作者 劉柏宏/勤益科技大學基礎通識教育中心教授。
歐洲暑期大學會議(European Summer University) 以數學史與教學(history and pedagogy of mathematics, HPM)為主題,每 4 年一次在歐洲各國輪流舉行。當 初得知去(2018)年將在挪威奧斯陸(Oslo)舉辦之後 就決定前往,也藉機來一趟遇見阿貝爾(Niels Henrik Abel)的數學朝聖之旅。

奧斯陸的阿貝爾

沿著Google地圖的指示來到奧斯陸大學(University of Oslo), 欲尋覓知名的阿貝爾雕像。事前只知道此雕像矗立在數學館一堵矮牆前,但到現場後就是遍尋不著數學館。在校園繞了一大圈後,最終在路人提點之下,找到 「內爾-亨立克-阿貝爾(Niels Henrik Abel Hus)」 館,也見到夢寐以求的阿貝爾(圖一)。雖然,其青黑的色調和在遮陽的樹蔭下看起來不是那麼清晰,但阿貝爾俊秀的臉龐仍依稀可辨。雕像上阿貝爾身穿及膝毛絨外套,安靜地坐在一張扶手椅上,脖子上打著一條領結圍巾,左手掌伸入排釦間隙,覆蓋於大衣內,似乎是為 了取暖。時值豔陽7 月,此情此景更讓人領略他生前所 遭遇的淒寒。塑像下方基石鐫刻著的,除了有與刊登在《科學月刊》588 期〈一曲方程眾吟唱──文藝復興的 方程解之戰〉一文中所提及的藍底白字小牌匾上相同的文字外,還有一條雙紐線圖案。



雙紐線是平面上符合(x2+y2) 2 =a2(x2-y2)所有的 點所形成的軌跡,其極坐標表示法為r2 =a2cos2θ。18 世紀瑞士數學家伯努利(Jacob Bernoulli)計算雙紐 線的弧長時開啟橢圓積分的研究,而德國的高斯(Carl Friedrich Gauss)則著眼於橢圓積分的逆運算(即橢圓 函數)進行研究。1827 年,阿貝爾發表在《克雷勒》 (Crelle Journal)的論文〈橢圓函數的研究〉 (Recherches sur les fonctions elliptiques)探討雙紐 線的可建構性,對橢圓函數的發展起了關鍵性的作用。不過,阿貝爾最蕩氣迴腸的事蹟無關橢圓函數,而是五次方程無根式通解的證明。

衣帶漸寬終不悔

在歷經文藝復興時期諸多數學家慘烈的挑戰與鬥爭,求解方程式的目的漸漸脫離其原本的實用價值,而成為一種修鍊數學心智的工作,也開始吸引後續諸多數學家的投入,例如歐拉(Leonhard Euler)與高斯。不過,歐 拉與高斯2 人對於五次方程是否存在根式解的看法截然不同。歐拉認為透過適當的降階過程,求得五次方程的通解應指日可待。......【更多內容請閱讀科學月刊第590期】