- 文章分類 -

文章專區

2019-07-02課堂上的砲彈 595 期

Author 作者 游森棚/任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。

上個月的某一堂課,幾位準老師與筆者分享要怎麼教「平方和的求和公式」,有個例題是

252+262+...+732=?

這不難,用(12+22+...+732)-(12+22+...+ 242)套兩次平方和公式就可以解決,答案是 127449。我們都覺得以 「觀念鞏固」的角度來看,這個題目還不差。但是也一致同意,該題的數字設計未免也太不友善了些。

但是,不久有個心算強者竟發現 127449=3572 是一個平方數!實在很不尋常,這下子大家都有興趣了,於是師生拋下課程討論起來。雖然最後回顧,大半都是重複前 人所得,但這段經驗相當有趣,幾乎重現數學家進行數 學研究的歷程,在此與讀者分享。

連續平方和是平方數

我們想知道更一般的結果或理論,這正是數學家的思考模式,永遠在尋找更廣更一般的理論,而要解決的問題是

1. 從哪些數 a 開始,可以有連續平方和是平方數? 2. 需要的項數 l 是多少項?

數學的說法就是, 希望能找到正整數 (a, l) 使得 a2+ (a+1)2 +...+(a+ l-1)2 是平方數,例題的 252+262+... +732=3572 等號左邊從 25 開始,有 49 項相加,故此問題至少已經有一個 (a, l)=(25, 49) 的解了。

畢氏三元數

面對一無所知,那就從簡單的情形開始探索。如果 l=2, 那就是說,要找連續兩個平方數,其和也是平方數。建 議讀者在此可以先放下文章,試試看!

換句話說,就是要找畢氏定理之中的直角三角形,其兩股是連續自然數,例如 32+42=52。這太容易了,另還有 202+212=292 也是個例子,於是我問同學,還有嗎?......【更多內容請閱讀科學月刊第595期】