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2019-03-01圓上的格子點
591 期
Author 作者
游森棚／任教於臺灣師範大學數 學系及空軍官校。
前陣子跟學生討論一道困難的試題，一開始敘述是：設k 為正整數，P=A1A2…Ak 為平面上的凸多邊形，且每個頂點都是格點（兩座標都是整數的點），並且同時落在一個圓上，則……（後面略）。
理解這個問題的條件花了一點時間，條件非常嚴苛：P 可以是多邊形，但頂點不僅要在同一個圓上，又要是格點，這真的辦得到嗎？我隨口問，能找到一個圓剛好通過100 個格點嗎？
嘿，這還真難倒我們了，方便起見，讓圓心固定在原點。根本的問題是：一個圓能通過幾個格子點？這引出一片理論，在此跟讀者分享。
通過多少格子點
先動手做實驗：用手算可以得到當n=1、2…20 時x2+y2=n 分別通過4、4、0、4、8、0、0、4、4、8、0、0、8、0、0、4、8、4、0、8…個格子點。既然都是4的倍數，除掉4後是1、1、0、1、2、0、0、1、1、2、0、0、2、0、0、1、2、1、0、2…。
這些數據看來都是0、1、2，但這只是假象。再往後看，第25項會是3、第65項首度出現4，把前100項列出來會長這樣：1、1、0、1、2、0、0、1、1、2、0、0、2、0、0、1、2、1、0、2、0、0、0、0、3、2、0、0、2、0、0、1、0、2、0、1、2、0、0、2、2、0、0、0、2、0、0、0、1、3、0、2、2、0、0、0、0、2、0、0、2、0、0、1、4、0、0、2、0、0、0、1、2、2、0、0、0、0、0、2、1、2、0、0、4、0、0、0、2、2、0、0、0、0、0、0、2、1、0、3。
看起來似乎一點規則也沒有，但錯了！2位大數學家勒讓得（Adrien- Marie Legendre）與高斯（Carl Friedrich Gauss）分別解決了這個問題：如果把n的奇因數全部列出來，可以分成2類，一種是4k+1型的（除以4餘1的），另一種是4k+3型的（除以4餘3的）。設2類分別有d1（n）和d3（n）個，勒讓得與高斯得到非常漂亮的結果：此數列就是d1（n）-d3（n），因此 x2+y2=n恰好通過4（d1（n）-d3（n））個格子點。......【更多內容請閱讀科學月刊第591期】