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Take Home Message
•記錄、分析擲骰子獲得的點數，我們可以了解均勻分布、獨立事件、常態分布，以及中央極限定理等統計觀念。
•中央極限定理是統計的核心和基礎，它說明了在極度隨機的條件下，只要集合夠多的獨立隨機變量，統計結果將趨於常態分布。
•中央極限定理能用於計算民調樣本支持率的統計誤差，估算群體支持率的信賴區間，作為我們在繁雜複雜的數據中預測、決策的依據。

 
日常生活充斥著不確定性，而這些不確定性也深刻地影響著我們。舉例來說，即使氣象預報顯示降雨機率僅有20％，我們出門時還是有可能會意外地遇到下雨；有時候前一天身體狀況還好好的，但到了第二天卻突然咳嗽不止；在學業上，同樣的會考成績在去年或許足以讓你進入心儀的第一志願，但今年可能就只夠進入次選學校。這些不確定性的現象背後由多種複雜的因素交織而成。即使是投擲一個公正的骰子，每一次投擲出現的點數也都無法預先確定。因此，統計科學（statistical science）正是運用機率理論來描繪和預測這些不確定性現象的學科。基於對歷史事件的觀察，統計科學提供對未來最可能且不確定性最小的預測，進而成為從過去經驗中學習的重要工具。
 
統計科學之所以有如此能力，很大程度上得益於眾多賦予了它強大解釋和預測能力的基礎理論。在這些理論中，有一個最核心和基礎的定理⸺中央極限定理（central limit theorem）。簡單來說，中央極限定理說明了就算在極度隨機的條件下，只要集合足夠多的獨立隨機變量，它們的結果將會趨於常態分布（normal distribution）。此發現不僅是統計科學的基石之一，也是我們在面對繁複世界時理解和處理不確定性的關鍵。透過中央極限定理，我們能從看似混沌的數據中提煉出有意義的模式和趨勢，從而在不確定性之中找到確定性的線索。
 

統計學中的常態分布

常態分布又稱高斯分布，是統計科學中最常見的機率分布類型之一。如果對機率分布不太熟悉，可以先將它粗略地想像為一大堆數字所繪製出的直方圖（histogram），也就是將很多數字依大小排列，而後計算每個數字出現的頻率，最後將這些頻率畫出圖表。這個圖表會展示不同數字出現的頻率分布，形成所謂的直方圖。你可以在圖表中看到哪些數字出現得多，哪些比較少，從而獲得對數據集整體特性的直觀理解。
 
常態分布圖形呈現對稱的鐘形曲線，其中大部分的數據集中在期望值（expectation, μ）附近，並隨著距離期望值的增加而快速減少（圖一）。另一個常態分布的關鍵參數是標準差（standard deviation, σ），它描述了數據分布的寬度，也就是數據離散程度的度量。此外，還有一種特殊的常態分布稱為「標準常態分布」（standard normal distribution），它的期望值為0、標準差為1。
 
這種標準化形式使得不同的常態分布可以透過簡單的變換相互比較，這在統計分析中極為重要。藉由將任意常態分布的數據轉換為標準常態分布，不同的數據集可以在相同標準下進行有效比較。在一個標準常態分布中，約有68％的數據落在期望值的一個標準差範圍內，95％落在兩個標準差範圍內，99.7％落在三個標準差範圍內。
 
而在我們的日常生活中，常態分布就像是無形的規則，無處不在。例如多數人的身高都集中在一個普通範圍，特別高或矮的人不太常見；學校的考試成績中，大部分學生的分數都圍繞在班級的平均分，那些特別高分或低分的同學就比較少；甚至是在超市消費時，大部分人的支出都差異不大，真正花費大手大腳或特別節儉的則相對少見。這些生活化的小事，都展示著常態分布在我們生活中的普遍性和重要性。

擲骰子遊戲

想要深入理解中央極限定理，需要較深的機率理論基礎。在本文中，我們可以透過簡單的「擲骰子」實驗來示範中央極限定理的原理。一般常見的骰子是正方體，六個面分別印有數字1～6。在骰子公正的前提下，投擲一次，每個面朝上的機率均為1/6。假設連續投擲骰子一萬次，並記錄下每次的點數，將會得到一萬個介於1～6的數字。如果將這一萬個數字製作長條圖，你會發現數字1～6出現的次數相差不大（圖二a）。這個結果在骰子公正的情況下，並不令人意外。……【更多內容請閱讀科學月刊第652期】