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•古希臘人認為必須用真解——也就是幾何方法，而不是測量才能求出真解，並且為了解決倍立方問題研究平方軌跡。
•平方軌跡的一般形式是y²＝ax，其中a是一個給定的正量，也就是某個指定的線段，稱為「標準桿」。
•在阿波羅紐斯、帕布斯等人的努力下，找出了許多平方曲線的性質，此曲線也在光學、重力學領域有重要應用。

 
不曉得讀者是否曾聽過這種說法：「古希臘的數學不重實用而重理論，這個特徵流傳到歐洲造就了西方文明。」筆者在這裡想要提議另一個看法，結果一樣但原因與過程略為不同。筆者認為古希臘數學並無不重實用的意思，他們研究數學的初心也具有實用目的⸺酬神，也就是答謝神或取悅神。在一個相信神能斷定死生禍福、管控風雨雷震的社會裡，還有什麼比酬神更實用、更要緊的文化活動？
 
古希臘的數學確實獨步於其他文明，但起因是他們認為必須用「真解」酬神。例如想要將一塊正方形的地基放大一倍，也就是從一平方單位變成二平方單位，希臘的匠師或地政幕僚應該能夠像其他文明的同儕（例如巴比倫、印度、中國），知道要把原正方形的邊長放大成1.41倍。可希臘的神職人員、菁英分子知道那是有瑕疵的量，並不是真解。他們知道要以原正方形的對角線為邊長去做出新的正方形，那才是真解。他們當然明白，一旦在地上畫出對角線，做直角畫出正方形地基肯定會產生誤差。但沒關係，那是人間的瑕疵，在「屬神」的純粹世界裡，他們的幾何方法是沒有瑕疵的真解，而這才是神給他們的考驗。
 

找出「倍立方」問題的解答

基於同樣的宗教信念，當希臘人面臨「倍立方」問題：將一座正立方體神殿的體積放大一倍，也就是從一立方單位變成二立方單位，他們也不能接受坊間工匠的方法⸺把原立方體的邊長放大約1.26倍，而必須使用幾何方法。這就讓古希臘菁英展開了為期約300年的長途探究。
 
最早的突破性概念是將x³＝2「擴編」為x⁴＝2x，然後令x²＝y，則y²＝2x。如果可以沿著互相垂直的兩條線畫出x²＝y和y²＝2x這兩條「平方軌跡」，則兩條軌跡的交點就能決定真解x的線段（圖一）。

 
由於古希臘人沒有代數符號、方程式、直角坐標系，他們全用文字和比例關係來思考和溝通，過程相當繁複。但筆者相信現代人（至少我自己）應該沒有耐心閱讀古希臘的忠實翻譯，因此下文皆直接以現代符號表示。順帶一提，當數學講二次函數的時候寫y＝x²，但是講拋物線的時候卻是寫x²＝y，這兩條等式不是一樣嗎？它們確實一樣，但是把拋物線寫成x²＝y已經是2000年以來的習慣。
 
古希臘的菁英社群（包括神職人士）追求真解，所以要杜絕測量且堅持以尺規作圖，並特別強調「尺」沒有刻度，只能用它畫線而不能用它測量。但他們一時找不到作x²＝y的尺規畫法，所以不稱它為圖形（graph），而稱為軌跡（locus）。軌跡是由滿足某些條件的點聚集而成的曲線或曲面，若用現代話語來說，軌跡就是方程式在坐標平面或坐標空間中對應的圖形。……【更多內容請閱讀科學月刊第651期】