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• 多數人難以接受虛數、複數的概念，其實許多數學家也難以認同，例如笛卡兒和牛頓。
• 18世紀初瑞士數學家尤拉以「i」表示√−1，但18世紀末才出現描述複數的四則運算，最後是高斯使複數的可信度增加。
• 現在複變函數已是一門數學分支，在流體力學、熱力學、雷達探測、無線電通訊、宇宙理論中皆扮演重要角色。

 
筆者之前曾在高中任教，當教完複數〔註〕這個單元之後，學生通常反應：「沒什麼意義的符號，但又不能沒有它。」、「一個虛幻不實的數，但我們為何要去研究一個『不存在』的數呢？它有什麼實際用途嗎？」、「虛數只能死背，再由i來計算，無法像實數有清楚的概念。」、「我覺得虛數根本不存在，只因為方程式要有解或公式能完美，就創造這種數來自圓其說，真是違背自己的良心。」
 

〔註〕為一種實數的延伸，以z＝a＋bi來表示。其中a與b為實數，i為虛數（方程式x²＋1＝0的解，也就是√−1）。

 
其實不僅是高中生，甚至對於部分大學數學系的學生而言，也往往不知道虛數的歷史脈絡及日後的應用。在數學教學中，我們強調有意義的學習，但是從複數的學習上似乎很難看到這樣的成效。學生往往不知為何而學，只是學習了一些操弄符號的技巧。事實上，數學並不是靜止又與生活無關的學門，而是動態的過程，在發展中除了成功也充滿失敗，正如同學生的學習過程一般。
 

數學家也難以接受的√−1

數學家赫希（Reuben Hersh）曾比喻：「數學就像一個出色的餐廳，在前面的用餐區，顧客們享用著乾淨且精心烹製的數學菜餚。」但事實上，熱火朝天、鍋碗瓢盆聲齊揚的廚房，才是數學家們產製知識的實際場所。從數學思維發展的歷史長河中我們可以發現，一個新概念的提出，往往不是一推出就馬上能獲得數學界同儕們的鼓掌通過，√−1的發展也是一樣。例如法國哲學家與數學家笛卡兒（René Descartes）認為負數的平方根是虛幻的、不能被接受，這也就是虛數（imaginary number）命名的由來。英國數學家與物理學家牛頓（Isaac Newton）也覺得負數的平方根沒有實際意義。至於與牛頓爭奪微積分優先權的德國哲學家與數學家萊布尼茲（Gottfried Leibniz）則說：「聖靈在分析的奇觀中找到超凡的顯示，就是那理想世界的端兆，那個藉乎存在與不存在之間的兩棲物，那個我們稱之為虛幻的負1的平方根。」
 
不過到了1831年，英國數學家及邏輯學家德摩根（Augustus De Morgan）認為：「我們已經證明了√−a是沒有意義的，或者甚至是自相矛盾和荒唐可笑的。但通過這些記號，代數中極有用的一部分卻建立起來，它依賴於一件必須用經驗來檢驗的事實，即代數的一般法則可以應用於這些公式而不導致任何錯誤的結果。」愛爾蘭數學家、物理學家及天文學家哈密頓（William Hamilton）在1852年1月13日給德摩根的信中談到：「我認為你或我⸺但我希望是你⸺選個時機寫下√-1的歷史。」五天後德摩根回信說：「有關於√−1的歷史，要從印度以降好好寫起，可是一件不小的工程。」……【更多內容請閱讀科學月刊第650期】