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大約 50 年前，任教於布朗大學（Brown University）的謝定裕教授在《科學月刊》創刊的 7 月號撰發表〈關於應用數學〉一文。今日，在《科學月刊》的邀請下，撰寫 一篇應用數學50年發展的回顧，格具意義。文章中指出「應用數學連結了抽象的純粹數學與真實的自然世界」，一方面幫助探索自然的奧秘，另一方面也從自然界中吸取靈感，豐富數學的內涵。因此，他建議數學家可以多涉略應用方面的課題。隨著50年的光陰流逝，應用數學的發展已遍地開花，對於人類社會及文明的影響非常巨大，更超出當年所預見。

促成此巨大變化的主因是電腦的快速發展。50年來，電腦的運算速度幾乎是年年倍增，體積則大幅縮小。它可以處理大量的數據，也能透過數學建模、數值模擬解決複雜的問題。因此，其普及化促使許多傳統學科都發生數位化及數學化的革命。應用數學的需求日益殷切，許多新興領域也應運而生。下面將舉幾個傳統及新興領域的例子，以勾勒部分應用數學領域這50年的發展及對人類社會革命性的貢獻。

1. 計算科學與工程（computational science and engineering）：

應用數學領域的一個重要分支是研究與物理科學相關的偏微分方程式，這些方程式都是根據基本的物理定律所推導出，是描述物質世界的數學模型。例如牛頓（Isaac Newton）的運動學方程式、馬克士威（James Clerk Maxwell）的電磁學方程式，描述量子現象的薛丁格方程式、統一時空的愛因斯坦方程式，以及描述宏觀現象的 熱傳導方程式、流體力學方程式和彈性力學方程式等。

以往，人們主要發展數學分析工具以探索這些方程式的解析解。有了計算機後，人們則加強發展數值求解的方法，將偏微分方程離散化、建構近似解，並在計算機上進行數值模擬。過去50年間，應用數學領域有系統的發展出一系列具一般性的數值求解方法，包括有限差分法、有限體積法、有限元素法、譜方法和邊界元素法等。今日，透過數值方法可以對任意材質、形狀的物件進行力學性質的分析，並對其製作過程及日後的使用情形進行數值模擬，包括建築物、橋樑、汽車和飛機等。

隨著時間的流逝，計算流體力學、計算力學、計算電磁學等子領域也應運而生。除了用於工業設計與製造，也廣泛用於天氣預報、氣候模擬、海洋研究和天文物理等。這些數值方法常涉及大型矩陣計算，相對應的快速求解法也成為關鍵技術。另外，許多科學與工程問題中的物理參數、初始或邊界條件是具多重尺度的性質，常以機率論中的隨機場建模。相對應的隨機偏微分方程式及相關的非確定的量化分析（uncertainty quanti cation, UQ），也都是近 30 年來重要的研究課題，其研究熱潮方興未艾。

 

2. 計算幾何（computational geometry）：

電腦圖學（computer graphics）是計算機科學的一個子領域，源自電玩及動畫的需求，是一套在電腦中發展、表現各種幾何形體的工具。這些幾何形體的表面需要貼上紋路光影，並能進行各種變形、運動等，因而誕生的是計算幾何學，它結合純粹數學中的射影幾何、微分幾何和代數拓樸等至電腦科學，是一個正在蓬勃發展的新領域。電腦圖學也運用到電影特效上，創造出怪獸打鬥、 海嘯襲城等影像，可重現古代光影或虛擬未來景象，為電影創作者創造出無限的想像世界。......【更多內容請閱讀科學月刊第595期】