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• 宇宙中三個可視為質點的天體，彼此的引力會互相影響，因此它們的運動軌跡相當難預測，這也被稱為「三體問題」。
• 拉格朗日計算限制性三體問題時，發現系統中總共有五個點（L1至L5）可以使第三個物體處在力平衡狀態，為三體問題的五個特殊解。
• 韋伯太空望遠鏡被發射至L2拉格朗日點，在此位置地球與太陽始終維持在同一方向，因此可運用遮罩阻擋兩天體的紅外線干擾。

 
2021年12月，詹姆斯.韋伯太空望遠鏡（James Webb Space Telescope，簡稱韋伯望遠鏡）發射升空。七個月後，美國國家航空暨太空總署（National Aeronautics and Space Administration, NASA）也陸續公布韋伯望遠鏡拍攝到的精彩天文影像，為人類開啟探索宇宙深處的新時代。
 
不過，只要談到韋伯望遠鏡與它的發射軌道，就經常會提及一個感覺有點難懂的名詞：拉格朗日點（Lagrange point）。到底什麼是拉格朗日點？韋伯望遠鏡又為什麼要放在日地系統的第二拉格朗日點（L2）呢？
 
在詳細解說之前，先給讀者一句簡短的答案：太陽與地球始終保持在L2的同一方向，因此韋伯望遠鏡可以運用遮罩一併阻擋來自這兩天體的干擾。請讀者們先把這句話放在心上，接著我們要從數百年前的牛頓開始說起。
 

什麼是拉格朗日點？

中國科幻作家劉慈欣著名的科幻小說《三體》，書名源於物理學上的重大難題⸺三體問題（three-body problem）。從牛頓（Isaac Newton）提出萬有引力定律以來，這項難題困擾了數百年間的眾多天才。
 
牛頓提出的萬有引力定律非常簡潔，一條簡單的公式即可算出物體之間的重力。兩個可視為質點的天體彼此因重力作用而相互影響的情況，屬於較單純的「二體問題」，因此要預測它們的運動軌跡並不困難。牛頓在1687年出版的書籍《自然哲學的數學原理》（The Mathematical Principles of Natural Philosophy），早已完整解出二體運動軌道的數學形式。兩個質點受彼此重力而互繞，則運行軌道會是圓錐曲線，例如地球繞行太陽的橢圓軌道。
 
然而，系統中一旦加入第三個物體，成為「三體問題」，情況就會變得極其複雜，且軌跡通常非常混亂。三體問題在數學上大多不存在解析解（analytical solution）〔註〕，也就是無法找到準確描述該軌道的數學公式，只能靠著電腦一步步推算才能得知下一步的狀態。
 

〔註〕一個或一組方程式的「解析解」，是指可用常見運算（如加減乘除、指數等）的組合來表達的解，如二次方程式的根就是典型的解析解。

 
1890 年，法國數學家龐加萊（Henri Poincaré）指出，三體運動會出現混沌（chaos）現象⸺由於三體運動的軌跡非常紊亂，只要給予細微的變化就可能導致截然不同的後果，所以我們無法精準預測三體的長期運動軌跡。這種情況就如同極為複雜的大氣現象，氣象預報雖能告訴我們明、後天的天氣，但卻無法精準預測更久以後的狀態。
 
雖然三體問題沒辦法算出普遍的解析解（analytical solution），不過有些天才數學家卻找到在特殊條件下的解。18世紀數學家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在計算限制性三體問題（restricted three-body problem）時，把第三個物體視作沒有質量的點，加在二體運動的系統（例如太陽與地球互繞的系統）當中。試著將問題簡化後，是否便存在可算出軌跡的特殊解呢？……【更多內容請閱讀科學月刊第645期】

圖一｜日地系統五個拉格朗日點位置示意圖。韋伯望遠鏡位於 L2 點,和地球同步繞太
陽公轉。（NASA, STScI）

拉格朗日在計算後發現，這個系統中總共有五個點可以使第三個物體處在力平衡狀態（分別稱為L1至L5，圖一）。在這五個位置上，該物體所受到太陽與地球的重力總和，剛好等於它隨地球公轉所需的向心力。換句話說，在這五個拉格朗日點時，太陽重力、地球重力與離心力三者的作用正好達成力平衡，所以物體可以跟隨地球一起公轉，對於太陽和地球而言，也就能保持在固定不動的相對位置上，這五個點就相當於三體問題的五個特殊解。
 

為什麼韋伯望遠鏡要放在L2？

韋伯望遠鏡位於日地系統的L2，繞行太陽的軌道比地球更外圈。如果它只受太陽重力影響以橢圓軌道繞著太陽公轉，那麼依據克卜勒定律，它的公轉週期會比地球更長，而跟不上地球的腳步。不過，若是把這個問題視為三體運動（太陽＋地球＋韋伯）而非二體運動（太陽＋韋伯），結果就會有所不同。除了太陽以外，韋伯望遠鏡實際上還受到地球重力的吸引，這股力量會加速望遠鏡的公轉，讓它剛好可以跟上地球公轉的腳步。
 
讀者們還記得前面曾經提過，位在拉格朗日點的物體可以自動跟著日地系統同步移動嗎？這項物理特性使得拉格朗日點在太空科技上具有應用價值。
 
不過，太空望遠鏡其實也不一定都要放在拉格朗日點。例如哈伯太空望遠鏡（Hubble Space Telescope）就位於離地面約540公里的近地軌道，因此當初發現鏡面出現問題時，還能發射太空梭以協助維修。那為什麼韋伯望遠鏡不放在近地軌道，而是大老遠地來到距離地球150萬公里的L2？科學家的用意是什麼？
 
韋伯望遠鏡之所以放在L2的關鍵原因，在於它的主要任務是「紅外光天文觀測」。我們周遭環境中充斥著無數能發出紅外光的物體⸺人體可以發出紅外光，地球更是個強烈的紅外光源。甚至就連望遠鏡本身如果溫度不夠低，也會發出夠強的紅外光波段熱輻射。因此紅外光天文望遠鏡必須冷卻到極低溫度才能運作，韋伯望遠鏡運作的溫度就大約是－225°C。至於太陽和地球這兩個強烈的紅外光源，可能使韋伯望遠鏡溫度升高而影響觀測，也是必須隔絕的兩大干擾。因此韋伯望遠鏡利用一組稱為太陽盾（sunshield）的遮罩阻擋輻射，以達到冷卻效果（圖二）。

問題來了，太陽盾只能遮擋望遠鏡的其中一面，讓望遠鏡朝向另一面觀測。一旦太陽與地球出現在相反方向，勢必會有一面無法遮擋，這時是否只能停止觀測呢？
 
解決這個問題的最佳辦法就是讓太陽與地球永遠保持在望遠鏡的同一個方向，讓太陽盾無論何時都可以一併遮擋這兩個大光源⸺而L2正是滿足此條件的位置，能一併阻止來自日、地、月的重大干擾，以便進行紅外光天文觀測。
 

除了韋伯望遠鏡，還有誰也在L2上呢？

L2與地球相距150萬公里，雖然遙遠，但是此距離仍然足以讓望遠鏡與地球保持通訊。而且韋伯望遠鏡也不是精準座落在L2上，而是在非常靠近L2的區域，沿著環繞L2的軌道運轉。因此，L2並不是由韋伯望遠鏡獨占，還有其他望遠鏡也坐落於此。例如大量觀測銀河系內恆星的蓋亞（Gaia）太空望遠鏡同樣在環繞L2的軌道上運轉。另外，過去也有不少望遠鏡被放在L2，例如用來觀測宇宙微波背景輻射的威爾金森微波各向異性探測器（Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, WMAP）和普朗克（Planck）衛星，都是曾座落在L2、現已退役的太空望遠鏡。
 
除了L2之外，其他的四個拉格朗日點也都各有不同的特性和應用價值。L1位在地球與太陽中間，永遠面對太陽，因此適合在此處觀測太陽。位於L1的太陽和太陽圈探測器（The Solar and Heliospheric Observatory, SOHO）在1995年發射升空，至今仍持續運作中，為人們提供即時的太陽活動資訊。這裡做個簡單總結，SOHO為了觀測太陽，所以放在L1點；韋伯望遠鏡為了避開太陽，所以放在L2點。L3位於太陽的背面，是更遙遠且難以抵達的地方，因此目前並未應用於衛星軌道。若要說出L3的應用價值，曾有人天馬行空的表示，此處或許可以作為外星人襲擊地球之前的躲藏地吧！由於前三個拉格朗日點都是不穩定平衡點，位於這些地方的物體若受到擾動就容易偏離。因此，韋伯望遠鏡並不會乖乖固定在L2，必須仰賴燃料定期修正它的軌道才能保持在L2附近。
 
至於L4、L5，在太陽對行星質量比夠大的前提下則是穩定平衡點，所以很多小天體或塵埃會向這兩個點聚集，例如特洛伊天體（trojan）指的就是位在某一天體（不一定是地球）L4或L5點的小天體。這些小天體始終在行星公轉軌道往前或往後60度角的位置，像是在木星的L4與L5上，總共已知有超過一萬個特洛伊天體;在地球的L4，目前則找到兩顆特洛伊小行星，分別是2010 TK7與2020 XL5。天文學家未來也將持續尋找及監測這類近地小行星，以防它們為地球帶來災難。
 
三體運動的問題極其複雜，而以上五個拉格朗日點是其中特殊的平衡位置。自然界的小天體朝向穩定平衡點移動，人類也善用拉格朗日點的物理特性，將韋伯望遠鏡等精密儀器送上太空中的這些特殊位置與地球同步運行，才讓我們能夠順利望向宇宙深處。

透過連結，觀看韋伯望遠鏡在太空中運行的軌道吧！ https://youtu.be/6cUe4oMk69E