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Take Home Message
• 碎形常見於自然界，能在雪花、海岸、蕨類植物中發現。
• 透過陳明璋發明的 PowerPoint 增益集「AMA」，能將簡單的橢圓、線條等幾何圖形以重複疊代的方式生成山、樹木、雲霧等圖。
• 陳明璋認為 AMA 是一種跳躍創意，且融合資訊科技造形平臺、 數學脈絡、藝術文化、認知心理的數位教材，具有深厚的科學教育意涵。

讀者們有聽過「碎形」（fractal）這個詞嗎？碎形是自然界中常見的幾何圖形，可以在雪花、海岸、樹木、蕨類植物、羅馬花椰菜中發現。碎形幾何之父、美國數學家曼德博（Benoît Mandelbrot）曾說：「雲不是球體，山不是圓錐體，海岸線不是圓形的，樹皮不是光滑的，閃電也不是直線傳播的。」

即使自然界中的碎形看起來無法以歐式幾何進行拆解，臺灣卻有一位學者運用簡單的幾何元素與碎形疊代原理進行數學藝術創作，而且人人都可以學會使用。這次《科學月刊》專訪了陽明交通大學通識教育中心榮譽退休教授陳明璋，看看如何不寫程式碼、在PowerPoint 就能用碎形作畫。

（陳明璋提供）

AMA 簡介與優點

陳明璋發明了一套功能強大的 PowerPoint 增益集「AMA」（activate-mind-and-attention）， 俗 稱「阿嬤」的外掛程式（圖一）。但為什麼會選擇 PowerPoint作為使用平臺呢？陳明璋表示，以往要學習一項新東西就要多學一個程式或平臺，缺乏統一與方便的平臺可用，出發點也沒有考量到老師教學使用上的設計，因此選擇 PowerPoint 是希望「工具簡單、方法有效、過程充滿創意」。

圖一：由陳明璋所發明的PowerPoint 增益集「AMA」。（作者提供）

為了降低使用門檻，AMA運用許多認知心理學理論的巧妙設計。像是採用編碼（coding）系統加速溝通，當老師說出指令串6-5-1的時候，學生就可以馬上找到「三點畫橢圓」的指令進行操作。不像一般資訊課程光讓全班找到某個功能（如工具→選項→進階模式），就要花很多時間才能找到正確的路徑。筆者曾上過一整天AMA數學藝術研習課程，過程非常流暢、充實，完全沒有停頓感。

雖然 AMA 平臺一開始是從認知與教學的理論出發和設計，不過它其實也非常適合用來進行數學藝術的教學與創作。創作數學藝術時必須處理大量點、線、形、結構等物件，而結構化正是AMA 的強項。它能將屬性相同的物件抽取出來，透過 AMA 介面一次更改上百個物件的屬性，在短時間內便能體驗到解構、重構、學習三步驟，使用起來非常有成就感。

碎形創作原理與過程

「力的存在產生了碎形，碎形從大自然而來。」陳明璋說道。古人從碎形簡化成象形文字；而今陳明璋發展了一套針對繪圖而設計的碎形幾何研究，並將象形文字轉化成有著傳統山水畫感的碎形圖案。接著就讓我們看看如何使用AMA，從幾個簡單的元素生成有意思的碎形圖案吧！

山的原理

首先是象形文字「山」，以四個橢圓形表示山的數學結構⸺大地、主峰與兩座側峰（圖二）。再將四個橢圓形轉成圖片作為生成子（generator），並以AMA中的定框複製功能（AMA 編碼8.7）套用至「結構」中疊代生成新的圖樣（圖三）。

圖二：以四個橢圓形表示山的數學結構：大地、主峰、兩座側峰。（陳明璋提供）

圖三：將第一次疊代後的結果轉化成圖片，成為第二次疊代的生成子而結構不變。重複以上步驟會發現每次的疊代結果愈來愈像一座山，畫
中出現深淺變化的原因是生成子中透明的橢圓重疊製造出陰影效果。（陳明璋提供，作者排版）

疊代後的結果看起來像是16（即42）個橢圓，接著再把第一次疊代後的結果轉化成圖片，成為第二次疊代的生成子而結構不變。只要重複以上的步驟會發現每次疊代後的結果愈來愈像一座山的樣子，反覆操作幾次之後就能用碎形畫出有如山水畫中的山。在圖三中也可以發現山巒色調有深有淺，就像是山水畫一般，深淺產生的原因就是生成子中透明的橢圓重疊製造出的陰影效果。

不同數學結構會生成不同形狀的山巒，只要在疊代時改變初始橢圓形的大小、位置、傾斜角度，得到的結果也會不同，因此它可以隨著操作者對於美感的主觀認知而自由變化。像是如果想要調整產出的圖案比例，就可以控制PowerPoint 物件對應的長方形邊框，調整長寬與拉伸，製造出更多變化與變形的可能性（圖四）。

圖四：利用不同的初始橢圓形大小、位置、傾斜角度生成不同形狀的山巒，製造更多疊代的變化與變形。（陳明璋提供）

樹的原理─混合跳躍疊代

那我們有沒有可能也利用四個橢圓形生成樹木呢？不同形狀的生成子同樣會生成不同的樹形，但可惜的是單以橢圓形較難模擬出樹的形狀，若是以線段作為生成子的結果也顯得有些太規則了，與自然世界中的樹木還有段差距（圖五）。

圖五：從圖中能看出以橢圓形較難模擬出樹的形狀，以線段作為生成子則顯得太規則，
與自然世界中的樹木有些差距。（a）利用四個橢圓形生成樹木；（b）以線段作為生成子產生樹木。（陳明璋提供）

為了克服上述困難，陳明璋結合線段與橢圓兩種生成子，發明了混合跳躍疊代方式（mixed leaping iteration）來生成樹的形狀，每次疊代的生成子會一直改變，產生不同形象。若要開始混合跳躍疊代，首先需建立一個適當的樹形結構。初始生成子有兩個，第一個是五條線的生成子，第二個則是橢圓形。從樹枝狀的生成子開始，以定線複製的方式直接疊代生成樹的線段結構，樹枝上的線段將衍生為新的枝幹（圖六）。

圖六：將線段與橢圓兩種生成子結合的「混合跳躍疊代方式」可解決樹木形狀生成的問題，每次疊代的生成子會一直改變，產生不同形象。（陳明璋提供）

此時樹枝線段數量來到25 個，陳明璋認為這樣的數量非常適合作為結構，不會太少、像上面僅使用橢圓形或線段難以使用，有一定的彈性可以根據美感手動調整樹形；也不會因數量過多造成電腦太大的負擔。接著再將同樣為初始生成子的橢圓形，以藍色虛線為基準線，定線複製疊代至每一根樹枝上，讓結構產生橢圓形框架，以便產生後續的碎形效果。圖六中的疊代結果為了簡潔美觀，已將橢圓形框線隱藏。

與山的疊代相同，製作樹木也是將生成子疊代至結構產生疊代結果，再將結果轉成圖片繼續疊代。若是疊代後發現樹形的美感需要修正，可以手動微調框架再繼續進行疊代，最後便可以得到一棵由碎形幾何生成、形狀優美的樹！

看完了使用疊代生成山與樹的過程，讀者們有沒有想過為什麼每次疊代後的結果都要轉化成圖片，才能進行下一次的疊代呢？原因是：如果以傳統或古典碎形的疊代方法進行，那麼每一次疊代物件的數量將呈現倍數成長，會大幅增加電腦運算上的負擔，也不能確定何時運算才能夠收斂。因此陳明璋發展了混合跳躍疊代的方法，以圖片（也就是現在的形象）取代結構中局部形象的疊代運算來解決此問題。古典碎形的特色是自我相似；現在的版本則是自我取代或疊代，使得局部與整體相似，無論是要畫草木或雲霧也都沒問題。

採用混合跳躍疊代的好處有以下幾點：
1. 考量電腦效能的極限，減少計算量。
2. 物件數量適中，使得人機介面易操作使用。
3. 樹的結構與形狀固定，可限定跳躍成長範圍。
4. 此過程方便操作者依據自身美感微調樹木結構，甚至可以改變顏色。

AMA創意發想與科學教育

陳明璋過去曾帶著這套方法與相關作品多次至國外參展，像是全球數學藝術研討會「Bridges Conference」的展覽。作品大多是將數學以藝術手法的視覺化呈現，老師也鼓勵讀者可以上Bridges 的官網欣賞各種作品、開開眼界。陳明璋表示AMA是一種跳躍創意，執行之前通常不容易預測結果，但如果把所有歷程都以視覺化的方式保留下來，就可以在任一個圖形繼續展開與變化，這就是「步驟視覺化」的威力，陳明璋也認為這是產生創意的必要條件。

筆者在訪談中也好奇地問到AMA 與結合程式和數學規則所產生的衍生藝術（generative art）有什麼差別？陳明璋認為衍生藝術似乎可以透過程式撰寫自動化，比較缺乏和人文的關聯；而AMA 則是融合了五個要件：資訊科技造形平臺、數學脈絡、藝術文化的結合、符合認知心理的數位教材，以及強大的社群與教學案例，這些都具有僅用參數設計無法達到的科學教育意涵。

上述提到的這些特色也體現於學生的作業之中。陳明璋以AMA教導大學生創作幾何繪圖，作業要求操作步驟視覺化與發揮創意製作簡報。老師認為除了幾何繪圖，重要的是還要學會管理與溝通，不然就不叫做「科學教育」了。有學生運用上課學到的內容，將幾何變成繪本的故事元素，精美程度讓人難以想像這只是通識課程，而正向的學習回饋更讓陳明璋臉上浮現滿滿笑意。

與第一線教師站在一起的跨域學者

在採訪那天，陳明璋開車前來接筆者的時候戴著墨鏡，一問之下才知道是想要降低飛蚊症的影響，這是多年來長時間盯著螢幕研究的職業病。陳明璋在退休後於陽明交通大學附近租了一間工作室，裡面有好幾套視訊設備、雙螢幕，他興奮地向筆者展示最新的幾何創作，也不時會聽見電腦高速運轉的聲音。回顧陳明璋的成長歷程，他在旗山與美濃一帶的鄉下長大，在沒什麼人煙的環境必須自己維修家中的電器，養成自己修東西、解決問題的DIY 精神，這樣的性格更貫穿了他整個職涯。

從數學學士、資工碩士、數學博士，再到認知心理相關研究，創建AMA平臺並且將它運用於數學藝術創作，這樣峰迴路轉不斷跨領域的職涯歷程是從何而來呢？陳明璋說道，他過去一直都在陽明交通大學裡工作，認為自己在當時的資訊大環境中研究層次較低，工作大多為人作嫁，因此選擇就讀在職博士班，並於45 歲拿到博士學位。而後由於期望能做出突破性的研究，自然要跨域涉獵、嘗試未曾挑戰過的領域。

他早期的工作是從網路虛擬教室開始切入，然而網路學習需要有教材內容，而要評判一項教材好不好還必須有理論基礎支持。這使他接觸大腦的認知負荷理論（CLT），再將相關理論融入至教學平臺的研發與設計，加上蒐集第一線教師的需求，於是有了AMA 平臺的誕生。透過教師社群的教學相長，這20 多年來AMA 平臺與相關教材得以不斷改良，這些也成為研究的重要素材。因此對於陳明璋來說，研究、教學與創作三者密不可分，產出的過程皆為任務導向，與一般教授十分不同。

「工作要能make sense（有意義），確認底層的意涵。」陳明璋認為跨領域的關鍵是在於理解知識的底層邏輯，才能靈活地運用知識創造新的成果。雖然跨領域過程曲折又辛苦，卻也走出了一條不同的路，成為大器晚成的實作型學者！

AMA 平臺的後續發展

屆齡退休已兩年多，卸下學術與行政的重擔之後，陳明璋仍然希望能夠透過各種方式讓AMA生生不息。除了持續開設工作坊與兼課，他也正在撰寫關於AMA與古典幾何學的專書，思考AMA如何讓大家在平板或手機互動，今（2023）年更打算舉辦數學藝術畫展，發表新系列的幾何圖樣。即便已經退休，陳明璋的日子依然十分充實並具有創造力，期待往後可以看到更多更精彩的創作。