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我小學三年級最喜歡的一本書是《數學謎題》，裡面羅列了眾多讓人眼睛一亮的漂亮算式和有趣問題。這個月跟幾個學生複習初等數論，回憶了一些年少的樂趣，底下就從記憶中蒐羅出幾個印象深刻的，和讀者分享。

湊100

用1、2、3、4、5、6、7、8、9 按此順序，最少用三個加減號就可以湊出100：
123 － 45 － 67 ＋ 89 ＝ 100

讀者還能找到其他的嗎？

這是給小學生練習加減的好問題。這個算式後來被資訊大師高德納（Donald Ervin Knuth）寫進他的巨著《電腦程式設計藝術》（The Art of Computer Programming）第四冊中，當作一個利用到葛雷碼（Gray Code）遍歷的習題。高德納問，只用加減號，數字順序不能變，湊不出來的最小正整數是多少？答案是211。也就是說，1 到210 都可以湊得出來（讀者可以試試看！）。此外，共有12 個方法可以湊出100，例如：

1 ＋ 23 － 4 + 5 ＋ 6 ＋ 78 － 9 ＝ 100
－ 1 ＋ 2 － 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋ 78 ＋ 9 ＝ 100

Knuth 又問，如果換成用9、8、7、6、5、4、3、2、1、0，湊不出來的最小正整數是多少？答案是240。最後他問，如果用1、2、3、4、5、6、7、8、9、8、7、6、5、4、3、2、1，則湊不出來的最小正整數是多少？

答案是16040，而且有60318 種方法可以湊成100，其中的一個方法是：
－ 1234 － 5 － 6 ＋ 7898 － 7 － 6543 － 2 － 1 ＝ 100

洗牌

另一個印象深刻的問題是洗牌。洗牌時把牌分成左右兩堆, 然後左一張右一張交錯相疊。但是實際上洗牌並不會愈洗愈亂——比如有八張牌，則12345678 → 15263748 → 13572468 → 12345678，洗三次就回來了。書上的問題是：一副52 張牌要洗幾次才能回來呢？

小學生不會把問題轉成用字串思考。我拿了一副牌拼命洗，但是牌太多很容易亂掉，總之費了一些功夫後有找到答案，讀者可以先試試看再往下讀。有沒有一般的理論？一般來說偶數張牌要洗幾次呢？實驗一下，2、4、6、8……20張牌所需要的洗牌次數是1、2、4、3、6、10、12、4、8、18，看起來沒什麼規律。但規律是有的，和數論上的「秩」（order）有關。【更多內容請閱讀科學月刊第520期】