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傳說中耶穌最後晚餐飲酒的「聖杯」是否存在，沒人知道，但它卻成為神學家、考古學家、文學家，甚至好萊塢電影製作人日思夜想的題材。它是腦子想像出來的現實，就像數學的1加1 等於2，每個人都同意它的存在是那麼的合理，但一般人大概不會花力氣進一步去想1 加1為什麼等於2，就像一般人不會以尋找聖杯為職志。但數學界一直存在一群頑固的聖杯尋找者，他們窮其一生，只為手握「聖杯」。他們不是數學界的主流，但他們像廟堂上最高的祭司，辨別每個人信仰的真偽，他們十分驕傲，也十分孤獨。

這些數學的祭司們不在乎實用，那是凡人追求的附加價值，而純粹的數學世界只是一個抽象但絕對嚴謹的演繹系統。這個系統始於一套建構合法敘述的語法，加上若干不互相牴觸的基本公理，以演繹的方式來證明其系統內合法敘述的真偽。如果這麼一個系統內的每一個合法敘述，都能以此方式來辨別真偽，則我們說這個系統是「完備」的；反之，若這個系統存在些合法敘述，但我們無法以此方式來辨別真偽，則我們就說這個系統是「不完備」的。

除此之外，我們也希望這個演繹系統不可過於侷限，因為過於侷限的系統很容易自我滿足，達到完備的要求。在數學上，我們希望一個演繹系統至少要「廣泛」到足夠描述簡單的數學四則運算，才算有數學上的意義。當然，一個合理的演繹系統要排除互相矛盾的悖論，也就是說，任何一個敘述不能同時被證明為真或偽。這種不互相矛盾的系統，我們稱之為「相容」的系統。一個不相容的演繹系統，可以把所有合法敘述證明為真，例如1 ＋1 ＝ 3，因此一個不相容的系統是沒有任何討論的意義的。

許多的古文明和我們現代人直覺的看法一樣，認為數學的演繹是純理性的最高表現。既然如此，以上「廣泛」、「相容」、傳「完備」的要求其實相當合理，並不苛刻。始自古希臘文明，幾千年來的哲學家所追求的終極夢想，就是要打造一個「廣泛」且「完備」的演繹系統來涵蓋一切理性，讓我們在理性的安全世界裡，對真理不再懷疑。這個願望其實是人類文明對所謂的「計算」的期待，也因此給出了「計算」的原始定義。但從亞里斯多德以降，進展遲緩，邏輯學家連相當侷限的一階邏輯是否完備也猶豫不決，無法證明。

直到上世紀初，誕生了一位史上最偉大的邏輯學家，克特‧哥德爾（Kurt Gödel），才讓世人大夢初醒，回到難堪的現實，理性注定要永遠殘缺。哥德爾一方面證明了一階邏輯的完備性，讓邏輯學家鬆了一口氣；但另一方面卻又同時證明了任何一個相容的演繹系統，如果它夠「廣泛」，可以用來描述基本的數學四則運算，那麼這個系統必定是不完備的。前者簡稱為「完備定律」，告訴我們邏輯的運用是可以信賴的；而後者就是震古鑠今的「不完備定律」，它宣告了幾千年以來理性主義者的終極願望：創造一個嚴謹的計算模型來解決一切紛爭，只是一個永不可能實現的夢想。

以上這兩個理論都是哥德爾不到30 歲時，用充滿了他自己的哥德爾氏風格，以極嚴謹但優美如巴哈音樂的數學旋律，在維也納的咖啡廳裡，一步一步把一群年輕學者帶到數學世界最深邃的幽谷。這群年輕學者有數學家、物理學家、哲學家、藝術家與詩人。後來因納粹的崛起與戰爭的緣故散居世界各地，但他們短暫在維也納咖啡廳交會時所激盪出來的火花，成為主宰20 世紀思潮的「維也納學派」，以「邏輯實證主義」為其一切論述的中心思想，其影響力至今不衰。哥德爾本身並不是實證主義的信徒，但他的「不完備定律」卻讓實證主義哲學起了根本的變化。「不完備定律」在哲學上所造成的衝擊，是遠遠超過純數學家所能想像的。

哥德爾光是證明這兩個理論的其中任何一個，便足以使他永垂不朽；但畢其一生，哥德爾最關心的卻是另一個問題：有沒有一個大小介於自然數與實數之間的集合存在？如果不存在，那麼依大小排序，自然數與實數便是兩個連續緊鄰的集合，這個假設在數學上稱為「連續統假設」（continuum hypothesis）。

「連續統假設」是由集合論的創始人喬治•康托爾（George Cantor）於19 世紀下半葉首度提出。看似簡單，但尋找這個假設的證明可是數學難題中的難題，也被視為尋找數學界的「聖杯」。康托爾本人為了這個問題如癡如狂，幾乎斷送了他的學術生涯，但最後仍不得其解，在精神病院抱憾以終。後來我們知道「連續統假設」無法以既有的任何數學系統證明，也就是說，不管這個假設是真是偽，都不會破壞目前數學系統的相容性〔註一〕。哥德爾很早就得到「連續統假設不可證」這個證明的一半，但另一半卻隔了超過20 年，才由一個年輕的數學家完成〔註二〕。……【更多內容請閱讀科學月刊第526期】

註一：本文所指的數學系統是指以集合論公理所建立的系統，即下文所稱的「公理集合論」，或以創立、研究此公理的兩位邏輯學家之名，稱為Zermelo–Fraenkel Set Theory。它還可區分為包括與不包括選擇公理（Axiom of Choice）。這個系統一般被認為是最基本、最嚴謹與最完整的數學系統。視公理集合論為數學之本有不少爭論，但這已超出本文討論的範圍了。

註二：所謂一半是指1940年哥德爾證明「連續統假設」與集合論公理是相容的；而另一半則是科恩在1963 與1964 年分別以兩篇論文證明「連續統假設」的反假設也與集合論公理是相容的。兩人的結果加起來，我們便得到「連續統假設」無法在集合論的系統裡得到證明的結論。要特別注意的是，這個結論有一個重要假設，那就是集合論公理本身是相容的。但根據哥德爾的「第二不完備定律」，集合論公理本身的相容性是不可證的。