文章專區

觀察一下圖一的花磚圖案，你有沒有發現什麼幾何規律？有辦法找出最小不重複的單位嗎？
近年來掀起一股復古花磚熱潮，逛街時常會發現許多花磚相關的圖樣，出現在紙膠帶、吸水杯墊等文創商品上，但你有看過真的花磚嗎？

臺灣花磚何時出現的？

許多臺灣的老建築時常以花磚裝飾外牆，俗稱彩瓷。而以彩釉瓷磚裝飾牆面的技法，則是源自於西元6世紀的波斯帝國（Persia），隨著伊斯蘭文化的拓展，流傳至西班牙改良成馬約利卡瓷磚（Majolica Tiles），而後又影響了義大利、法國、荷蘭、英國等地。

不只是臺灣，花磚在歐洲建築中也被大量使用，圖為葡萄牙里斯本街道上可見到的花磚牆面。
（Photo by Diego García on Unsplash）

日本在明治維新時期將英國的技術帶回國內，花磚也就透過日治時期的殖民進口到臺灣，更發展出臺灣特有象徵吉祥富貴的圖騰。由於花磚有著顏色新穎、施工快速、耐用易清洗等特點，成為1920 ～ 1940年間臺灣本島與離島中權貴家族與顯赫廟宇流行的炫富式象徵。

隨著時光流轉與產業轉型，1960年代後日本工廠已無法繼續負荷大量的手工業，花磚便停止生產，也使得花磚逐漸在日常生活中沒落，數不清的花磚隨著老建築的拆除而消失。而近年興起的一波搶救與復興運動，只因為那手工打造獨一無二的痕跡以及美麗的圖樣，早已成為日常生活中的一部份。

用數學來解構花磚幾何圖案的生成

花磚不僅擁有豐厚的文化歷史，歷代的圖樣設計師也發展出許多富有美感的圖樣，讓花磚成為日常生活中美麗的風景。現在，就讓我們戴上幾何的眼鏡來透視與解析這些圖案吧！

圖二的4種基本移動方式看似簡單，卻可以從一個單位的「基本圖樣」生成延伸重複的幾何圖樣，括弧裡的是英文與國際共通標記（International Notation for Symmetry Groups of Tiling）符號。

圖一：臺中公園更樓外牆花磚。（作者拍攝）

圖二：4 種基本對稱型式的移動方式

基本圖樣只要搭配這4種幾何變換，就可以生成一個基本構圖，再將基本構圖平移、複製就能夠鋪滿整個平面，因此這些基本構圖通常還能夠再拆解成更小的基本圖樣。

二方連續

接著就來看看讓人感到數大便是美的連續圖樣吧！二方連續的圖樣可以在兩個方向無限延伸，作為橫飾帶的圖樣（圖三）。來看看下面這片花磚與基本構圖，這裡的基本構圖等於基本圖樣。

圖三：二方連續的馬約利卡磚與基本構圖。（爿爿花臺灣傳統瓷磚圖鑑，pattern by panpanhua）

在這裡我們可以看到基本圖樣與左右兩邊的線條銜接得非常好，而且乍看之下基本圖樣的兩個螺紋長相有點相似，還以為是位移鏡射呢！

不過經過垂直鏡射之後仔細看，會發現這兩個螺紋的細節裝飾與螺紋位置並不相同。這表示設計者有考慮到圖樣的連續性，但可能為了美感考量，相鄰圖樣的細節並不相同，使得圖樣延伸後有種生動與活潑的感覺。

四方連續

如果想要拓展到上下左右4個方向，都能夠用美麗的花磚圖樣鋪滿整個平面呢？這樣的圖樣被稱為四方連續。與二方連續相同的道理，只要用一個基本圖樣加上對稱規則，就可以透過基本構圖複製出整面圖案，不用傻傻地一片一片去畫。

通常四方連續的設計會從正方形格子開始進行思考，將四塊花磚以2x2的方式拼成基本構圖，光是這4塊花磚怎麼設計與排列，就值得好好探討一番了。

常見的對稱設計方式有兩種，第一種是在正方形格子中先置入斜對角的對稱軸，繪製好圖樣之後，再對水平線與垂直線進行鏡射，這樣的對稱型式以「p4m」表示，m指的則是鏡射（mirror）。

我們也可以視為在單位基本圖樣的正方形格子中，本身就有45度對角線的鏡射軸，再將正方形沿著旋轉中心旋轉90度，就可以得到基本構圖，非常容易製造出端正又美麗的圖樣，像是圖四的印花磚。

圖四：印花磚。（爿爿花臺灣傳統瓷磚圖鑑，pattern by panpanhua）

從四方連續的圖樣中，可以發現有4條對稱軸：鉛直、水平、左斜、右斜，而且有不只一種方式可以拼成基本構圖，即使這兩種構圖都來自同一個更小的正方形格子，然而使用向心拼法與離心拼法兩種不同的排列方式，節律感卻截然不同。

以p4m對稱型式製造圖樣時，可以試著在角落創造特別的線條或者花樣，當四塊磚拚在一起時，往往會浮現意想不到的效果，這也是幾何鋪磚的趣味之處。

另一種方式則是將基本圖樣的正方形格子旋轉90°，格子內本身沒有鏡射，國際標記為p4。來看看圖五的花磚吧，這可是被台灣花磚博物館拿來當作logo的花磚！雖然它看起來蠻對稱的，但不是前面提過的p4m，覺得有點眼花了嗎？

要怎樣看出這不是p4m 呢？除了顏色不同之外我們還可以觀察到一件事，基本構圖中的線條有前後交叉的立體感，從細分成小正方形的基本圖樣中，試著從左上到右下畫一條對角線，會發現這條線的兩邊長得不一樣，由於「沒有鏡射」的關係，因此這塊基本圖樣也就不是p4m。

圖五：四方連續的馬約利卡磚。（爿爿花臺灣傳統瓷磚圖鑑，pattern by panpanhua）

旋轉對稱讓花磚不再只是呆板的上下左右鏡射，還能夠讓不同效果呈現在平面上，有機會製造出更加繁複的幾何圖樣，路過的人可要多看兩眼才能看出花磚背後的對稱原理呢！

看完了四方連續的兩種對稱設計型式之後，接下來我們來看看同一種基本圖樣搭配不同的對稱規則，會讓基本構圖與整個平面變得如何。

第一種對稱型式是單純的平移複製，最後產生看起來有很多銅錢的樣子（圖六右）；第二種方式則是前面提到的p4m，在此p4 與p4m 的效果相同，最後產生的圖樣有點像鳥又像魚（圖六左）。

圖六：平移複製後的成果。
（爿爿花臺灣傳統瓷磚圖鑑，pattern by panpanhua）

運用不同對稱型式後，基本圖樣呈現的效果完全不同，讓花磚的排列產生非常多種變化，單看初始的基本圖樣不容易想像整面牆最終的樣子，這就是對稱的力量！當然囉，我們也可以結合曼陀羅或是禪繞畫等不同繪畫技巧，讓已經是世界文化遺產的花磚活出新生命。

日常生活中無所不在的幾何

筆者曾在2017泛知識節與2019數學年會科普講座分享，假如我們可以從日常生活或文化中的元素來認識幾何，例如鐵窗花、磨石子地板、海棠花玻璃、客家藍染、原住民部落圖騰、新移民使用的伊斯蘭幾何圖案等，那麼就會發現日常生活中的幾何與數學無所不在，學習起來也會感到更加親切。

最後，期待你來一趟結合數學與文化的小旅行，運用幾何之眼觀察與透視這些文化圖樣背後的設計與美感，再實際動手創造出屬於自己的圖樣吧！

想了解更多美麗的花磚嗎？可以趁著假期到這些博物館看看哦！
1台灣花磚博物館
地址：嘉義市西區林森西路282 號
營業時間：週三至週日 10:00 ～ 17:30
2迪化二Ｏ七博物館
地址：臺北市大同區迪化街一段207 號
營業時間：週一至週五 10:00 ～ 17:00（週二休館）
週六、週日及國定假日 10:00 ～ 17:30