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- 2014年
- 533期－科學、數學，動手玩（5月號）
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2014-05-01珠璣科學之串珠萬花環
533 期
Author 作者
金必耀／任教臺灣大學化學系。左家靜／任職國家高速網路與計算中心。
串珠是一種傳統藝術與工藝的形式，其基本步驟是將尼龍線反覆地穿過含有孔洞的珠子，常用來製作各種珠寶、裝飾品、吊飾品、雕塑等二維或是三維結構。在2012年，本文作者曾在《科學月刊》寫過「珠璣科學」系列文章，簡介有關串珠在分子模型的製作與應用，我們談到正多面體、碳六十、碳七十、碳八十等芙類分子的串珠模型，並且用烷類分子來解釋串珠模型與化學鍵價球模型的關連。當然，除了芙類分子與簡單的烷類分子之外，串珠還可以應用到具有各種特殊拓樸構造的單層石墨，以及各種晶體的三度空間結構的模型建構上，詳細的應用可以參考筆者的網頁http://thebeadedmolecules.blogspot.com/。
本文將離開分子等微觀的奈米世界，介紹串珠模型在數學玩具的一個有趣的應用，我們將使用長管串珠，製作一種稱為「萬花環」的數學玩具。萬花環是一種由偶數個四面體所組成的環形甜甜圈結構，其中的每一個四面體用相反位置、彼此垂直的兩個稜邊分別與前後兩個四面體相連。這種數學玩具由斯托克（R. M. Stalker）在1935年所發明（圖一），很快地就在趣味數學（recreation mathematics）的愛好者中流傳起來，不少人也對萬花環做過詳細的幾何與對稱分析。萬花環有趣的地方是你可以將環的內側連續不斷地扭轉到外側，讀者也可在網際網路的許多地方找到萬花環的動態模擬。注視著環的上面，四面體的四個面就不斷地會被轉到你的眼前，若面上同時繪有圖案，更讓人會有如萬花筒一般地目不暇給的感覺，因此設計師華萊士．沃克（Wallace Walker）將這種結構稱為萬花環，英文為Kaleidocycle，由三個希臘字源所組成：kálos（美麗的）、eîdos（形狀）、kyklos（環）。另外沃克與數學家多麗絲．沙特施奈德（Doris Schattschneider）一起著有M.C. Escher Kaleidocycles 一書，將荷蘭藝術家艾雪（M.C. Escher）的版畫圖案與萬花環結合，產生驚人的視覺效果。
圖一：發明家斯托克在1935年的專利「Advertising medium or toy」（US Patent 1,997,022），此萬花環含有六個等腰四面體，上三圖是從三個不同角度的透視圖，下圖是此萬花環的平面展開圖，圖中組成的三角形是等腰三角形，所做出來的四面體為等腰四面體。
動手製作萬花環
通常製作萬花環的方式以稍硬紙張為主，先在一張紙上畫出如圖一中所示，由三角形組成的平面圖，繪製上自己喜愛的圖案，將其剪下，然後再以適當方式摺出六個等腰四面體，然後用膠水連結起來，便可得到一個由六個四面體所組成的萬花環。
一個由N個正四面體所組成的萬花環，其中的N必須是偶數，才能結成一個可平躺在平面上的環，每個四面體與相鄰的四面體共用一個稜邊，所以共有2N個頂點、5N個邊，與4N個三角形面。萬花環上的所有頂點與三角面是全等的，但是稜邊可分成兩類，連接兩四面體的邊共有N個（A類），而其它完全屬於某一個四面體的邊則有4N個（B類）。本文將專注在由正四面體所連成的萬花環，在這種情形，N必須大於或是等於6才能連成一個環。在N ＝ 8或是更大的情形，萬花環才可以連續地從裡面轉到外面，重複不斷。而在N＝ 6的情形，正四面體只能在一定角度範圍內轉動，一直到相鄰兩個四面體相碰為止。如果將正四面體中的正三角形變成適當的等腰三角形，而且讓等腰三角形的腰底比滿足一定比值（如圖一所示的情形），也是可以讓萬花環能自由旋轉，而且相鄰的四面體在水平時，正好彼此相切。
除了紙張，我們也可以利用長管串珠，簡稱管珠，輕易地製作出由多個四面體，以稜邊相互連結而成的萬花環，這種串珠萬花環巧妙地利用四面體管珠骨架結構本身的堅硬度，與相鄰兩個四面體的兩面角可自由旋轉的特性，製作出來的串珠模型具有精巧、優美與耐用等好處。由於網路上已經有大量有關於萬花環的製作，以及這種動態幾何結構的數學分析，讀者可用谷歌搜尋引擎輕易找到，本文將僅著重於利用長管串珠製作這種玩具的程序，省略關於這種萬花環的幾何分析與長管串珠模型結構力學的討論。......【更多內容請閱讀科學月刊第533期】