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- 2014年
- 533期－科學、數學，動手玩（5月號）
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2014-05-01「寓數於玩」—玩具中的數學
533 期
Author 作者
李武炎／任教淡江大學數學系。
學齡中的兒童大概都玩過一些跟數學有關的玩具，這些數學玩具大部分都與計數有關，主要是訓練小朋友的計算能力或者是認識時間的數學概念，等到年紀稍長，所玩的數學玩具就比較進階，其中最流行也比較引人入勝的益智玩具就數「魔術方塊」（Rubik’s Cube）莫屬了。「魔術方塊」的數學原理是應用到一些抽象代數的東西，也跟離散數學與一些機率概念有關，在很多科普刊物中有人曾以專文介紹過，本文就不再贅述，不過我想提一個與「魔術方塊」有異曲同工的玩具，它也是與數學中的「群論」有關的益智謎題。
在一百多年之前有一個數學謎題專家——羅德（Samuel Loyd）引進一個謎題玩具叫做「15 – 謎題」（15-Puzzle）；這個玩具又叫數學推盤遊戲，它是由一塊有凹槽的板和寫有數字的方塊所組成十五個數字，推盤的板上含有十五個方塊牌和一個大小相當於一個方塊牌的空位（供方塊移動），玩的人要移動板上的方塊牌，讓所有的方塊順著某一個數字的次序排列。
例如圖一是一個4×4的數學推盤，上面有十五個方塊牌分別標上號碼1、2、3、……、15，還有一個位於右下角的空位。你可以將號碼牌滑到空位，比如說你可以將12號牌推下或將15號牌推向右，繼續不斷的滑動號碼牌你就可以產生不同的排列方式。在公元1870年時，羅德提供了這個遊戲並尋求解法，將14與15號牌加以對調但不改變其他號碼牌原來的位置，當時他還懸賞美金1000元作為獎賞，頒給能提出成功的解法的玩家，當時曾經瘋迷了整個美國。
圖一：15-謎題 ∕ 數學推盤遊戲。
這個謎題的原理其實是與數學裡的「排列群」有關，為了容易讓普羅大眾容易瞭解其中的道理，我將簡化「15–謎題」為「5–謎題」的推盤，也就是2×3的欄柵；其中有兩列三行，如圖二上面依序有標著1、2、3、4、5的號碼牌，加上一個空位在右下角，同樣的規則是將號碼牌滑動至空位，同樣地我們能否在經過有限次的滑動後，最後產生圖三的形式。
圖二 → 圖三
與原來的圖二形式比較，只有原來的4號牌與5號牌對調，其他1、2、3號牌保持原來排列的位置不動。為了回答這個問題，我們得先瞭解其中的數學含意。
假使你從圖二開始將3號牌向下滑動到空白格然後將2號牌向右滑動，緊接著滑動5號牌向上，最後將3號牌向左滑動如圖四。
圖四
如果把最開始的形式視為12345，則最後的形式可視為一個動新的排列15243，2跑到原來3的位置，3跑到原來5的位置，而5佔住原來2的位置，這個新的排列在數學上也可以看成一個函數ƒ：A → A，其中A ={1, 2, 3, 4, 5} 而且ƒ(1) = 1, ƒ(2) = 3, ƒ(3) = 5, ƒ(4) = 4, ƒ(5) = 2, ；函數ƒ有時也用下面的方式表示。
ƒ是一個一對一且映成函數，像這樣一對一且映成函數一共有5! = 120個，為了方便起見，我們要引進一個新的符號來記函數ƒ；因為ƒ(2) = 3, ƒ(3) = 5, ƒ(5) = 2；所以2、3、5三個數形成一個循環，即ƒ將2映到3，再將3映到5，最後將5映回2，而ƒ將1與4保持不動，我們就將ƒ記為(235)並規定(352)與(523)是與(235) 一樣。......【更多內容請閱讀科學月刊第533期】