- 專欄
文章專區
2014-06-01蛇
534 期
Author 作者
游森棚／任教臺灣師範大學數學系。
首先要跟讀者鄭重道歉的是，兩個月前的專欄文章〈塗塗抹抹〉裡，最後一欄關於染色多項式的對數凹猜想，在2011年已經被數學家Seymour找到一個反例反證了，也就是說，對數凹的猜想不成立。不僅如此，後續還有很多新的發展，因此要謝謝直接來信或透過編輯通知我的三位讀者。我一方面慚愧學藝不精，一方面也很高興這個專欄（或《科學月刊》）是真的有人在關心的。以後一定盡量不要犯這樣的錯誤。
最近讀了幾篇論文，都和「蛇」有關——數學上的蛇，不是生物上的蛇。問題的起點很有意思，下筆跟讀者分享才赫然發現蛇年可惜剛剛過去。但如果要應景， 就要再等十一年，所以還是寫在這裡。
我們都知道1、2、3，……，n的排列有n!個，但是每個排列的「形狀」卻是很不一樣的。所謂形狀即由左至右讀排列數字「往下變小」或「往上變大」的走勢。比如1234567是一路往上，7654321是一路往下，7123465 是「下上上上上下」。而5142736是很特別的「下上下上下上」，如圖。
好，如果規定形狀要像最後一例一樣「下上下上下上下上……」，這樣長度 n ＝ 3， 有兩個：312、213；長度 n ＝ 4有五個：4231、3241、4132、3142、2143。
讀者可以暫停試試看列出長度n ＝ 5的16個。那，長度為n時有多少個呢？
這樣的排列叫做交錯排列（alternating permutations）。令En是長度為n的排列的總數，寫個程式跑一下，可以得到最初的數據{En}n≥0=1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272,......【更多內容請閱讀科學月刊第534期】