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2014-10-01帶學生作數學發現
538 期
Author 作者
游森棚／任教臺灣師範大學數學系及空軍官校。
今年全國科展結束後，科學教育館舉辦了一個研習營，主要用意是打鐵趁熱，讓報名的老師藉著互相討論歷屆得獎的科展作品，能夠更上一層。參與的老師有三、四十位，會場座無虛席。會中老師關心的核心問題是：
要怎麼找到好的數學題目？什麼是好結果？為什麼一個作品是好作品？
科學教育館邀請我主持，並評註一下今年作品。要講些東西總不能瞎扯，於是我大概成為今年唯一仔細讀過小學、國中、高中每一件作品的人。這些作品都已經是各縣市代表，有一定的水平，我不時在作品中看到數學發現的喜悅。
比如小學組的第一名作品，康橋中學的許睦義、黃裕鈞、何裕騰、彭惟、周方震五位小朋友考慮這個問題：給定一個圖，每個頂點一開始寫有一個1 到n 的正整數。每個步驟可以選一條邊，將這條邊的兩端點數字增加1，目的是作最少的步驟後讓所有頂點上的數字都等於P。辦得到嗎？比如，一開始的圖是
能否讓每個頂點都是4呢？可以的。如下操作三次（每次選的邊用虛線表示）。
但是一個正六邊形，頂點順時針放1、2、3、4、5、6，則不管怎麼操作都不會成功。他們大量實驗後觀察到：不管這個圖長怎樣，假設有n個頂點。頂點上的一開始標的數總和為S，若要操作M 次才能達到目的，最後頂點上每個數字是P，則必有S＋2M＝nP。
圖例中，S ＝ 10，操作了M ＝ 3次，最終每個數是P ＝ 4，有S ＋ 2M ＝ 4P ＝ 16。反之，S、M、P如果不可能滿足這個關係，就一定無解。比如六邊形的例子，S ＝ 21，不論M、P是多少，21 ＋ 2M ＝ 6P是不可能的，因為左邊是奇數、右邊是偶數。
用算兩次原理容易解釋上式。但是小學生能夠在實驗中找到了複雜系統之中隱含的一致性規則，體現了數學研究實驗探索，化繁為簡的精神，是值得鼓勵的。我相信學生發現這個判別法時，一定很興奮。......【更多內容請閱讀科學月刊第538期】