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- 543期－影像世界中的巧妙數學（3月號）
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2015-03-01透視超能力 Get!
543 期
Author 作者
舒宇宸／師大數學系畢業後，到臺大數學系攻讀碩士跟博士。目前任職成功大學數學系。喜歡研究應用數學、界面問題、快速計算法、醫學影像及訊號處理。
身為青少年，你曾經幻想能夠像超人一樣，具有透視的能力嗎？你知道這樣的能力，在現實生活中要怎麼辦到呢？假設前面有一道牆，而我們想要「看到」牆後的景象，這時就得先發射一道能夠穿牆的光；而當它碰到牆後物品後反射，再度穿牆回到我們的眼睛，這樣我們就可以透視了。可惜的是，我們人眼能見到的可見光，並沒有穿牆的能力。所以，要能夠透視的話，就只能是超人了！
總有穿牆而過的辦法
雖然無法得到透視的能力，但人類的想像力是無限的。我們還是可以透過儀器，來完成這個不可能的任務。舉例來說，X光影像就是其中一種。它可以完全穿透人的身體，在人體的另一邊接收訊號強度，而得到透視人體的結果。
讓我們用一個簡單的方式來說明。假設有個人躲在牆中，而我們用X光從左側照射過去。如果人體會吸收X光，這時右側就會接收不到X光。若用X光的強度來成像，影像上就會呈現出那個人的形狀陰影。這是最簡單的X光影像。由於它是最簡便且最便宜的檢查方法，所以很多醫療檢查就是使用它。比如牙齒根管治療、胸腔檢查，或是身體內部的異物檢查，都會用到X光影像。不過，這些影像都只能看到穿透過去的「影子」，也就是X光較無法穿透的部分。但如果我們想要得到更進一步的資訊，該怎麼做呢？多照一張X光相片嗎？這裡會產生一個簡單的問題是：如果我們從正面照一張、側面照一張，都看到一個矩形的陰影，那麼這個物品會是長方體嗎？答案是不一定，它也很有可能是個圓柱體。那麼就每個角度都照一張呢？這樣能確認它是圓柱體還是長方體了嗎？讀者可以自己想想看。而我們能夠從每個角度的影像取得更多資訊嗎？答案當然是可以的！這些資訊就需要數學家來幫忙找出來了。以醫學中的電腦斷層影像為例，這類影像所使用到的數學，其實就是我們高中曾學過的「解聯立方程式」。假設有個方塊，是我們想用X光透視其內部的物品；此物品的內部分為四個方塊，每一塊對X光的吸收程度分別是a、b、c、d。如果從左邊照射X光過去，便可以得到兩個不同的吸收程度：a+b和c+d，讓我們假設這兩個程度分別為10％和16％。如果從上方照光下去，則得a+c和b+d，並假設數值分別是12％和14％。那麼最後會得到四條聯立方程式：a+b=10％、c+d=16％、a+c=12％、b+d=14％。
嘿嘿！四個未知數配上四條方程式，真是天造地設的四對啊！讓我們試著把它們解出來吧！不過讀者可能會發現，其實這樣的方程式會有無限多組解。像是（a, b, c, d）=（5, 5, 7, 9）或（6, 4, 6, 10），都各是一組解。所以，如果我們要解出這個四個未知數，只需要再多增加一個角度的資訊就可以了。而醫院裡所謂的「64 切」、「128 切」的電腦斷層影像，就是用了64及128個角度來取得影像資訊的！但同時，被檢測者的身體就得被X光穿越那麼多次！
由於X光具有輻射性，除非必要，我們會儘量減少這種穿身而過的檢查。那麼，還有沒有其他具有穿透力的光呢？有的。夾在手指上進行偵測的血氧機（量測人體血液中氧濃度含量），就是利用紅外光可以透過人體皮膚的特性，得到因血紅素濃度差異，而強度不同的光訊號，以估算血液中的含氧量。
用「聲波」看透你
為了滿足讀者更多的幻想，再推出一種可以看到人體深處的超威力器── 超音波！要談超音波啊，就需要了解聲波的一項重要特性─ ─ 頻率。簡單來說，頻率就是每秒可以聽到幾個「波」。這時候，我們就得問個重要的問題：什麼是「一個波」啊？一般生活中波的形式很複雜，為了方便，我們就用最簡單的波─ ─正弦波來說明。以正弦波來說，如果它的頻率為3Hz（赫茲，頻率的單位：次／秒），就表示一秒鐘內有三個正弦波進入了你的耳朵。 ……【更多內容請閱讀科學月刊第543期】