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2015-04-01初等數論課堂二三事
544 期
Author 作者
游森棚／任教臺灣師範大學數學系及空軍官校。
數論
是一門探討整數性質的數學。「初等數論（elementary number theory）」以研究整數的性質為中心，包括整除性、不定方程、整數分布及數論函數等內容。
這學期教了一門新課，大一的「初等數論」。數論這門課可以非常枯燥，但因為是大一學生，我不想在他們剛進入數學世界就嚇跑他們；幾經比較之下，我選了一本有趣的課本── 西爾弗曼（Joseph H. Silverman）的《數論概論》（A Friendly Introduction to Number Theory）。每一章都短短幾頁， 只講一個重要概念。我喜歡作者強調數學是一個「觀察，發現，猜想，證明」的過程。書中的習題引導學生作發現，設計頗有巧思。兩個星期下來，課堂上和學生互動讓我心有所感，寫在這裡和讀者分享。
看見從沒發現的
畢氏定理是少數大家都能記得的定理：直角三角形兩股a, b平方和等於斜邊c平方和（a2+b2＝c2）。求學過程中，3, 4, 5或5, 12, 13這兩組數字的記憶太深刻了，也正因為太熟悉，就不會有什麼期待。在黑板上，我列出許多組本原畢氏三元數（「本原」的意思是說三個數之間沒有最大公因數）：
（3, 4, 5） （5, 12, 13）（8, 15, 17）（7, 24, 25）
（20, 21, 29） （9, 40, 41）（12, 35, 37）
（11, 60, 61）（28, 45, 53）（33, 56, 65）
（16, 63, 65）（336, 377, 505）。
我問，「可以看出什麼？」一陣搞笑後（ 有人回答「每一組都有三個數」，有人則說「都是白色的」），一位同學說，好像每一組都剛好有一個偶數──這引起了一陣騷動。不久，另一位同學說，好像每一組都剛好有一個3的倍數；再不久有位同學說，好像每一組都剛好有一個5的倍數！這引起全班學生的驚呼。畢氏定理這個從國中就做到爛的東西，竟然有性質是他們不知道的！......【更多內容請閱讀科學月刊第544期】