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2020-06-29葫蘆裡賣的是什麼機率？臺灣古早桌遊趣—葫蘆問
607 期
Author 作者
林家妤 Shark Lin／因為數學成為斜槓青年，進行數學藝術創作、策展、採訪、寫作與創意教學，特別喜愛跨領域的題材與合作。
葫蘆問為臺灣早期流行的桌遊，尤其盛行於農曆春節期間的萬華、鹿港與安平地區。原本名稱是「河洛文」，由於遊戲以河洛文發音，後來口傳為葫蘆問，也稱為葫蘆運。
在葫蘆問的圖紙上有23組成對的圖案，加上終點共有47個圖案，大多與八仙、動物或吉祥符號有關。玩家必須擲骰子在圖紙上前進，遊戲規則類似蛇梯棋（Snakes & Ladders），會在圖紙上前進後退，先走到終點的人就獲勝。
與蛇梯棋不同的是，葫蘆問成對圖案的距離越接近終點會越小，使得玩家在遊戲後期差距縮小。因此，學者認為相對於適合知識階級玩的陞官圖，葫蘆問則老少咸宜。
了解葫蘆問的歷史以後，接著就來瞧瞧這款古早遊戲的規則吧！
葫蘆問的規則
以不同的棋子或小物表示不同玩家，再將所有棋子放在起點外，玩家人數2~5人。遊戲過程使用兩顆骰子，依據擲出的骰子決定下一回的位置，先走到終點（47）就算獲勝，詳細的規則如下：
規則一：先走後跳
擲完點數後，先前進到所擲的位置，再跳到所擲位置的對應圖案。例如說玩家1擲出2點，先走到第2格驢的位置，再跳到同樣是驢的第14格位置。玩家2擲出3點，先走到第3格葫蘆，再跳到對應的第12格葫蘆。
規則二：頂位
若四個人玩，這時候玩家3也擲出3點，先走到第3格葫蘆，再跳到第12格葫蘆，則玩家3會把玩家2從第12格葫蘆，擠回對應的第3格葫蘆，稱為「頂位」。要注意的是，頂位發生的位置在於跳躍處，而非擲出點數的位置。
規則三：三打不成
如果玩家4也擲出3點，三個人踩在同一位置上，就稱為 「三打不成」，只能和局重新開始。
進階規則
如果擲出超過距離終點的點數，那麼就必須從終點往回走，例如說位於離終點只有兩步的第45格龍，擲出5點，則必須從終點第47格南極仙翁往後走3 步，走到第44格花再跳到第39格花，反而離終點更遠，增加遊戲的難度與趣味。
以前人們發展出許多口訣，帶有吉祥、詼諧和俚俗的意義，例如第一輪口訣「二驢‧ 三矸仔‧ 四乞食‧ 五雞‧六貓‧ 七賓‧ 八鯉‧ 九肥‧ 十浸‧ 十一吉（孽）‧十二葫蘆」代表了骰子擲出不同點數，下一步移動對應到的圖案。
從遊戲中分析機率
看完圖紙與規則，發現手氣夠好的話第二回合就可以到達終點。只要擲出9鍾漢離（阿肥），便可以跳躍到對應的37位置，再來對手沒有擲出相同點數把自己頂回9，下一回再前進10步便可到達終點，擲出之前很可能會聽到對手喊「肥九漏屎」，希望擲出9點只到第46格銅錢，跳躍至第25格掉出內圈。
兩回就幸運獲勝的機率高不高呢？根據兩顆骰子的點數和分布情況，可以算出玩家第二回合就獲勝的機率：
1/9×(1-1/9)×5/36=1.37％
兩擊必殺的機率並不算高。
除了最快獲勝的機率，玩家先走或後走有差嗎？容易和局嗎？玩幾回會結束，每一格被踩到的機率為何？
回答這些問題之前，得來分析一下葫蘆問遊戲的特性。若是在擲賽遊戲（race game）中， 玩家下一回合的位置只和前一回的位置有關，與玩家如何到達前一回的位置無關，便可以藉由馬可夫鏈（Markov Chain）進行分析。馬可夫鏈的轉移矩陣（stochastic matrix）描述各個狀態轉移之間的機率，也被稱為機率矩陣，在一個時間步長內從i狀態到j狀態移動的機率為pi,j，可從兩顆骰子點數和機率搭配圖案跳躍的特性算出：
從i狀態出發的所有機率和為1。葫蘆問47個圖樣加上起點共有48種狀態，若是只有一位玩家，可以用一個48×48的矩陣描述各狀態的轉移機率：
π0 P=π1
只要將初始位置向量π0乘上轉移矩陣P，那麼就可以得到第一回合所有圖樣的機率分布π1；同樣地，第二回合則是把再乘上P就可以得到π2：
π1 P=π2
值得注意的是，葫蘆問的轉移矩陣是個吸收型的馬可夫鏈（absorbing Markov chain），只要到了第47格南極仙翁就不會再移動到其他狀態。隨著回合增加，終點的機率分布也會一直增加，直到終點的機率為1。
然而，葫蘆問這款桌遊的特色是玩家之間會互相影響，如「頂位」與「三打不成」，若要以馬可夫鏈進行理論分析，那麼轉移矩陣就必須同時記錄不同玩家的位置，以便定義每一個狀態。那麼，矩陣大小將以次方的速度增長，問題也會變得非常複雜。因此，接下來會以程式模擬的方式分析。
葫蘆問的模擬程式
在此運用蒙地卡羅模擬法（Monte Carlo Simulation），將兩顆骰子的點數作為隨機變數，依照遊戲規則建一個程式，按照不同的玩家數量（2~5 人），分別模擬遊戲一萬次，希望能夠知道：
1. 結束局數機率分布
2. 和局機率
3. 圖樣機率分布
根據大數法則，只要模擬的次數夠多，結果便會接近理論值。〔註二〕
葫蘆問的模擬結果
1. 結束局數機率分布
在圖紙上跳來跳去的葫蘆問，要玩幾局才會結束呢？右上的表整理出遊戲結束回合與玩家人數的關係。
玩家人數變多，平均而言回合也會較快結束。值得注意的是，玩家3~5人會有1回合結束的情況，表示第1回合就出現「三打不成」和局。另外，可以試著計算出3人以上第一回就和局機率P3，在此定義到第3人擲骰子和局的機率為P3T，為3人擲出相同點數的機率總和：
若是4位玩家，到第4人擲骰子才和局的機率為P4T：
而4位玩家和局的機率，為上述兩種情況的加總：
同樣的道理，5位玩家，第5位才和局的機率為P5T：
5位玩家和局的機率是這三種情況的加總，模擬結果與理論計算差不多，如下圖：
2. 和局機率
剛剛計算過第一回合就和局的機率，那如果是不論回合的和局呢？模擬結果顯示三人遊戲的和局機率大約是10.8％、四人和局機率為27.4％、五位玩家的和局機率則高達44.6％，玩起來比較無趣；從表中可以發現，不同先後次序的玩家獲勝機率大致相等，三人以上後走的玩家略為吃虧，但差異不算太大。
3. 圖樣機率分布
下圖是葫蘆問每一格圖樣被玩家踩過的次數統計，X軸為一次遊戲中該圖樣被踩過的次數，介於0至40之間，玩家人數為2人。
從圖中可以發現第10格月兔極少被踩到，進一步從圖樣對照表可以發現，月兔的兩個欄位分別是1和10，如果擲出10點根據規則會跳回第1格，要停留在第10格的唯一可能是兩位玩家皆擲出10點，玩家2跳回第1格時將玩家1頂位至第10格，被踩到較多次的圖樣為第16、25、31、33、38、39格，跳躍前的格子分別是第42、46、45、41、43、44格，也就是第47格終點前6格。因為進階版規則，擲出的點數若超過終點必須往回走，因此踩到這些格子的機率較高。看來，要順利達到終點可沒那麼容易呢！遊戲裡的不確定性與機率特別讓人著迷，下回買張圖紙和朋友一起來試試手氣，感受葫蘆問跳來跳去的樂趣！
〔註一〕蛇梯棋源自於古印度的Moksha Patam遊戲，最終目標為象徵靈性解脫的涅槃，有著濃厚的道德與宗教意味。遊戲過程攀上梯子表示玩家覺悟提升層次，蛇則會使得玩家下降，代表修行遇到阻礙必須重新學習。藉由遊戲裡的善惡因果，教育與啟蒙下一代。
〔註二〕呂奕，葫蘆問模擬程式於Github上的原始碼：https://bit.ly/2MALKwu。
特別感謝交通大學統計學研究所高竹嵐教授。
葫蘆問圖紙有許多版本，在這些地方可以買到
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萬華：阿猜嬤甜湯、振昌文具
鹿港：玉珍齋（糕餅包裝）、王裕興文具行、
新大成藝品行（植物染版本）
臺南：安平劍獅埕（安平劍獅現代版）
Pinkoi：角斯角斯（復刻設計版）
延伸閱讀
1. Nick Berry, Mathematical Analysis of Chutes and Ladders, https://bit.ly/37s0NCp.
2. 藝術桌遊 : 角斯「葫蘆問」海報，https://bit.ly/3cQN8FT。