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- 548期－廣義相對論百年 （8月號）
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2015-08-01愛因斯坦與廣義相對論的誕生
548 期
Author 作者
聶斯特／中央大學物理系與天文所退休教授，陳江梅／中央大學物理系教授
一世紀前，偉大的物理學家愛因斯坦（Albert Einstein, 1879~1955）完成了廣義相對論，透過時空的彎曲來描述重力交互作用，這個理論毫無疑問的是物理學中最激動人心的智慧結晶。愛因斯坦在物理學上做出了許多劃時代的貢獻，例如在1905年，年輕的他就獨立地完成了許多開創性的成果，其中有關光電效應的論文，是開啟量子物理大門的關鍵性工作，他也因此獲得1921年諾貝爾物理獎的桂冠。然而，對一般大眾來說，愛因斯坦最著名的研究成果就是相對論，他在1905年完成了狹義相對論，討論等速運動系統的物理特性，其中光速不變性的假設所推論出來的「時間膨脹」、「長度收縮」等奇特效應，是理論物理中令人非常著迷的現象。十年之後，愛因斯坦更將其理論推廣至加速的系統，建構出描述重力作用的廣義相對論。
學生時期的愛因斯坦
愛因斯坦在大學時期是一個相當古怪的學生，常常翹課，成績也並不突出，最後勉強達到畢業門檻，而他大部分的時間致力於獨立研究物理學中最前沿的問題。至於考試，愛因斯坦則依賴於他的同學格羅斯曼（Marcel Grossmann, 1878~1936）所做的筆記。因為愛因斯坦經常缺課，再加上似乎不夠尊重師長的態度，使得他在授課老師心中留下不良的印象。他的物理學教授韋伯（Heinrich Friedrich Weber, 1843~1912） 曾經責備他說：「你是一個很聰明的孩子，愛因斯坦，非常聰明的孩子，但是你有一個很大的缺點，就是永遠聽不進去別人對你說的任何事情。」他的數學教授閔可夫斯基（Hermann Minkowski, 1864~1909）則曾經稱他為「懶狗」。許多年後，當被問到關於愛因斯坦發表的狹義相對論時，閔可夫斯基的評論是「我真的不敢相信他能夠做到。」
愛因斯坦所就讀的蘇黎世聯邦理工學院。(Shepard4711, https://goo.gl/WmZ7NV)
1927 年10 月所召開的第五次索爾維會議，主題為「電子與光子」，並齊聚了當時最頂尖的物理學家，包括正中間的愛因斯坦、居里夫人（第一排左三）、勞侖茲（第一排左四）、包立（Wolfgang Pauli，第三排右四）與海森堡（Werner Heisenberg，第三排右三）等人。(I Harsten, https://goo.gl/qaT71k)
廣義相對論的基礎
廣義相對論所討論的，是自然界中的重力，也稱為萬有引力，是人類最熟知的作用力。牛頓（Isaac Newton,1642~1727）首先理解到，萬有引力不單單只是造成地球上萬物會向下掉落的原因，也是天體中星球運行的作用
力來源。他寫下了質量如何產生重力的萬有引力公式，再加上他所提出的物體運動必須服從的三大運動定律，構成了牛頓力學的體系，主導我們對物理的認知達數百年。直到愛因斯坦發表相對論後，物理世界才又往前跨出了重要的一步。
廣義相對論的理論基礎，起源於一個稱為「等效原理」的基本概念——當一個人在自由墜落的時候，他感受不到自己的重量。自由墜落是一個加速的運動狀態，而物體的重量則是重力作用的結果，因此，等效原理說明了這兩個物理現象間有一定的關聯性。這個想法給愛因斯坦很深的啟發，引導他建立了一個革命性重力理論的方向。根據愛因斯坦的說法，等效原理的靈感出現在1907 年，是他一輩子中感到最快樂的想法。
根據狹義相對論，物理學家已經理解到在牛頓力學體系中的一維時間和三維空間不再是各自獨立的，勞侖茲（Hendrik Lorentz, 1853~1928）給出了兩個相對等速運動的觀測者間，他們測量到的時間和長度的轉換關係，也就是說，時間和空間必須被看成一體，形成一個稱為「時空」的概念。一個完整的重力理論包含兩個部分：第一，需要知道物質如何產生重力場，在牛頓的理論就是萬有引力方程式；第二，重力場是如何作用在物體上，因而改變物體的運動狀態，在牛頓的理論中就是第二運動定律。在廣義相對論彎曲時空的架構下，重力如何作用在物體的部分相對上較容易理解，即物體在彎曲時空中走最短路徑，而最短路徑在數學上可由測地線方程式算出。因此，廣義相對論的建構中最核心的問題，就是推導出物質如何彎曲時空的重力場方程式。
困擾愛因斯坦的難題
儘管愛因斯坦對於建立新的重力理論的物理直覺是清晰而深刻，但是要將他的想法具體的實踐出來，需要一個全新的數學架構。討論彎曲時空結構的數學工具「微分幾何」，便成了廣義相對論所需要的數學平台。但是很不幸的，愛因斯坦一開始並不十分熟悉微分幾何，以致於遲遲無法建構出具有一致性的理論。他再次向格羅斯曼尋求幫助，他拜託老同學說：「格羅斯曼，你一定要幫幫我，否則我會瘋了。」愛因斯坦開始和格羅斯曼合作，埋首於廣義相對論的建構，經過了一段時間的努力之後，愛因斯坦和格羅斯曼終於在1913年發表了著名的「綱要（Entwurf）」論文，這篇論文分為物理與數學兩部分，分別由愛因斯坦和格羅斯曼撰寫。然而，他們兩人在這篇論文中都犯下了錯誤，而這些錯誤全是起源於對彎曲時空的數學沒有能夠全盤掌握。這個新的數學領域，雖然大數學家黎曼（Bernhard Riemann, 1826~1866）早在1854 年就曾發表他在彎曲空間幾何的研究成果，但對愛因斯坦和格羅斯曼這樣的新手來說，他們只能透過可獲得的文獻，對彎曲空間的數學工具有粗略的理解，但是，他們尚未完全了解彎曲時空的數學公式之真正意涵和在他們新的重力理論當中所扮演的角色。
廣義相對論的誕生
廣義相對論的誕生，也就是推導出正確的重力場方程式的日子，發生在1915年的11 月，那一個月份，愛因斯坦在4 日、11 日、18 日和25 日分別發表了有關廣義相對論的論文，從考慮比較簡單的特殊系統再推廣到一般情形，逐步改進結果，而正確的重力場方程式則是出現在25 日的論文之中。
大數學家希爾伯特（David Hilbert,1862~1943）有關重力場方程式的論文也是在這個時間點完成，所以一直都有到底是誰先得到重力場方程式的爭論。愛因斯坦首次提出正確的重力場方程是在1915 年11 月25 日，但就在5 天之前，希爾伯特在德國哥廷根大學的一個報告中介紹了他對廣義相對論的研究成果。希爾伯特的研究主要目的是考慮重力與電磁力的整合模型，他從作用量出發，利用變分原理，進而分析理論的數學性質。……【更多內容請閱讀科學月刊第548期】