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2015-11-01線性代數以簡馭繁的威力 551 期

Author 作者 吳汀菱/臺北市中山女高數學科教師。
站在手搖杯店前,工作人員正在忙碌,望向店中不同口味的茶桶,再看著眼前的menu,納悶著他們是怎麼用這寥寥數個口味的茶,調配出那麼多種產品呢?

數學家用質因數分解來表示正整數,任何一個正整數都有其唯一表示的質因數分解式。化學家列出了元素表,並發現了世界上每一種物質,都是由表中的某些元素以一定的比例組合而成。在高二上學期的平面向量單元中,課本提到,給定平面上兩個不平行的非零向量,那麼這平面上的任一向量都可表示為的線性組合。

上面的例子中,用線性代數的語言來看,所有的正整數、世界上的所有物質、平面上的所有向量,皆各自為一個向量空間(vector space);而所有的質因數、元素表中的所有元素、平面上的 兩向量,就是向量空間中的基底(basis),任何一個空間向量中的元素都能表示為基底的線性組合。以基底的無窮多種不同線性組合來表達無窮多個元素,同時,每個元素也各自有一個獨特的表達方式。

線性組合的妙用

高二下所學的空間概念中有一個定理:

設直線L與平面E相交於A 點,若直線L與平面E上通過A點的兩相異直線L1,L2皆垂直,則平面上過A的任意直線皆與L垂直。即,直線L與平面E垂直。

大部分課本中僅以「因為兩相交直線可決定一平面,所以可得知」,這大約需8個步驟。

若使用向量的線性組合來證明這個定理其實非常簡潔。……【更多內容請閱讀科學月刊第551期】